Четырехспиральная полугруппа - Four-spiral semigroup

В математика, то четырехспиральная полугруппа это особенный полугруппа создан четырьмя идемпотент элементы. Эта особая полугруппа впервые была изучена Карлом Байлином в докторской диссертации, представленной в Университет Небраски в 1977 г.^[1]^[2] У него есть несколько интересных свойств: это один из наиболее важных примеров би-простых, но не полностью простых полугрупп;^[3] это также важный пример фундаментального регулярная полугруппа;^[2] это незаменимый строительный блок для биспростых, идемпотентно порожденных регулярных полугрупп.^[2] Некоторая полугруппа, называемая двойная четырехспиральная полугруппа, порожденная пятью идемпотентными элементами, также изучалась вместе с четырехспиральной полугруппой.^[4]^[2]

Определение

Четырехспиральная полугруппа, обозначаемая Sp₄, это свободная полугруппа генерируется четырьмя элементами а, б, c, и d удовлетворяющие следующим одиннадцати условиям:^[2]

а² = а, б² = б, c² = c, d² = d.
ab = б, ба = а, до н.э = б, cb = c, CD = d, Округ Колумбия = c.
да = d.

Первый набор условий подразумевает, что элементы а, б, c, d идемпотенты. Второй набор условий подразумевает, что а Р б Л в Р г куда р и L являются Отношения Грина в полугруппе. Состояние одиночества в третьем наборе можно записать как d ω^л а, где ω^л это двоякое отношение определяется Намбоорипад. На диаграмме ниже показаны различные отношения между а, б, c, d:

${ displaystyle { begin {matrix} && { mathcal {R}} && & a & longleftrightarrow & b & omega ^ {l} & { Big uparrow} && { Big updownarrow} & { mathcal {L}} & d & longleftrightarrow & c & && { mathcal {R}} && end {matrix}}}$

Элементы четырехспиральной полугруппы

Спиральная структура идемпотенты в четырехспиральной полугруппе Sp4. На этой диаграмме элементы в одной строке R-связанные, элементы в том же столбце L-связанные, и порядок идет вниз по четырем диагоналям (от центра).

Строение четырехспиральной полугруппы Sp4. Показаны множество идемпотентов (точки красного цвета) и подполугруппы A, B, C, D, E.^[4]

Общие элементы

Каждый элемент Sp₄ можно записать однозначно в одной из следующих форм:^[2]

[c] (ac)^м [а]

[d] (bd)^п [б]

[c] (ac)^м объявление (bd)^п [б]

куда м и п являются неотрицательными целыми числами, и члены в квадратных скобках могут быть опущены, если оставшийся продукт не пуст. Форма этих элементов подразумевает, что Sp₄ имеет раздел Sp₄ = А ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E куда

А = { а(ок)^п, (bd)^п+1, а(ок)^мd(bd)^п : м, п неотрицательные целые числа}

B = { (ac)^п+1, б(db)^п, а(ок)^м(db) ^п+1 : м, п неотрицательные целые числа}

C = { c(ac)^м, (db)^п+1, (ок)^м+1(db)^п+1 : м, п неотрицательные целые числа}

D = { d(bd)^п, (ок)^м+1(db)^п+1d : м, п неотрицательные целые числа}

E = { (ок)^м : м положительное число }

Наборы А, B, C, D находятся бициклические полугруппы, E бесконечный циклическая полугруппа и подполугруппа D ∪ E это нерегулярная полугруппа.

Идемпотентные элементы

Набор идемпотентов Sp₄,^[5] является {а_п, б_п, c_п, d_п : п = 0, 1, 2, ...} где, а₀ = а, б₀ = б, c₀ = c, d₀ = d, и для п = 0, 1, 2, ....,

а_п+1 = а(ок)^п(db)^пd

б_п+1 = а(ок)^п(db)^п+1

c_п+1 = (ок)^п+1(db)^п+1

d_п+1 = (ок)^п+1(db)^{п+ l}d

Множества идемпотентов в подполугруппах А, B, C, D (в подполугруппе нет идемпотентов E) соответственно:

E_А = { а_п : п = 0,1,2, ... }

E_B = { б_п : п = 0,1,2, ... }

E_C = { c_п : п = 0,1,2, ... }

E_D = { d_п : п = 0,1,2, ... }

Четырехспиральная полугруппа как полугруппа матриц Риса

Позволять S - множество всех четверок (р, Икс, у, s) куда р, s, ∈ {0, 1} и Икс и у неотрицательные целые числа и определяют бинарную операцию в S к

${ displaystyle (r, x, y, s) * (t, z, w, u) = { begin {case} (r, x-y + max (y, z + 1), max (y- 1, z) -z + w, u) & { text {if}} s = 0, t = 1 (r, x-y + max (y, z), max (y, z) - z + w, u) & { text {в противном случае.}} end {case}}}$

Набор S с этой операцией Полугруппа матриц Риса над бициклическая полугруппа, а четырехспиральная полугруппа Sp₄ изоморфен S.^[2]

Характеристики

По самому определению четырехспиральная полугруппа является идемпотентно порожденная полугруппа (Sp₄ порождается четырьмя идемпотентами а, б. c, d.)
Четырехспиральная полугруппа является фундаментальной полугруппой, то есть единственной конгруэнцией на Sp₄ которое содержится в соотношении Грина ЧАС в Sp₄ является отношением равенства.

Двойная четырехспиральная полугруппа

В фундаментальная двойная четырехспиральная полугруппа, обозначаемый DSp₄, - полугруппа, порожденная пятью элементами а, б, c, d, е удовлетворяющие следующим условиям:^[2]^[4]

а² = а, б² = б, c² = c, d² = d, е² = е
ab = б, ба = а, до н.э = б, cb = c, CD = d, Округ Колумбия = c, де = d, ред = е
ае = е, еа = е

Первый набор условий подразумевает, что элементы а, б, c, d, е идемпотенты. Второй набор условий устанавливает отношения Грина между этими идемпотентами, а именно: а Р б Л в Р г Л д. Два условия в третьем наборе подразумевают, что е ω а где ω - двоякое отношение определяется как ω = ω^л ∩ ω^р.