Теорема Ферникеса - Ferniques theorem

В математика - в частности, в теория меры - Теорема Фернике это результат о Гауссовские меры на Банаховы пространства. Он расширяет конечномерный результат о том, что гауссовский случайная переменная имеет экспоненциальный хвосты. Результат был доказан в 1970 г. математик Ксавье Ферник.

Заявление

Позволять (Икс, || ||) быть отделяемый Банахово пространство. Позволять μ - центрированная гауссовская мера на Икс, т.е. вероятностная мера определены на Наборы Бореля из Икс так что для каждого ограниченный линейный функционал ℓ : Икс → р, то проталкивающая мера ℓ_∗μ определены на Наборы Бореля из р к

${\displaystyle (\ell _{\ast }\mu )(A)=\mu (\ell ^{-1}(A)),}$

- гауссовская мера (a нормальное распределение ) с нулем иметь в виду. Тогда существует α > 0 такой, что

${\displaystyle \int _{X}\exp(\alpha \|x\|^{2})\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .}$

А тем более, μ (эквивалентно, любое Икс-значная случайная величина грамм чей закон является μ) имеет моменты всех заказов: для всех k ≥ 0,

${\displaystyle \mathbb {E} [\|G\|^{k}]=\int _{X}\|x\|^{k}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .}$

Рекомендации

• Ферник, Ксавье (1970). "Intégrabilité des vecteurs gaussiens". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, серия A-B. 270: A1698 – A1699. МИСТЕР0266263

• Джузеппе да Прато и Ежи Забчик, Стохастические уравнения в бесконечной размерности, Cambridge University Press, 1992. Теорема 2.7.