Гипотеза сокольников - Falconers conjecture

В геометрическая теория меры, Гипотеза Фальконера, названный в честь Кеннет Фалконер, является нерешенной задачей о множествах Евклидовы расстояния между точками в компактном ${\displaystyle d}$-мерные пространства. Интуитивно он утверждает, что набор точек большой по своему Хаусдорфово измерение должен определить набор расстояний это большое в мера. Точнее, если ${\displaystyle S}$ компактное множество точек в ${\displaystyle d}$-мерное евклидово пространство, хаусдорфова размерность которого строго больше, чем ${\displaystyle d/2}$, то гипотеза утверждает, что множество расстояний между парами точек в ${\displaystyle S}$ должно быть ненулевое Мера Лебега.

Формулировка и мотивация

Сокольничий (1985) доказал, что борелевские множества с хаусдорфовой размерностью больше, чем ${\displaystyle (d+1)/2}$ имеют наборы расстояний с ненулевой мерой.^[1] Он мотивировал этот результат как многомерное обобщение теории Теорема Штейнгауза, предыдущий результат Хьюго Штайнхаус доказывая, что каждый набор действительные числа с ненулевой мерой должен иметь набор различий который содержит интервал вида ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ для некоторых ${\displaystyle \varepsilon >0}$.^[2] Его также можно рассматривать как непрерывный аналог Проблема различных расстояний Эрдеша, который утверждает, что большие конечные наборы точек должны иметь большое количество различных расстояний.

Частичные результаты

Эрдоган (2005) доказали, что компакты точек, хаусдорфова размерность которых больше ${\displaystyle {\tfrac {d}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$ иметь наборы расстояний с ненулевой мерой; для больших значений ${\displaystyle d}$ это приближает порог размерности Хаусдорфа, заданный гипотезой Фальконера.^[3]

Для очков в Евклидова плоскость, вариант гипотезы Фальконера утверждает, что компактный набор размерность Хаусдорфа которой больше или равна единице, должно иметь набор расстояний размерности Хаусдорфа один. Сам Фальконер показал, что это верно для компактов с размерностью Хаусдорфа не менее 3/2, и последующие результаты понизили эту оценку до 4/3.^[4][5] Также известно, что для компактного плоского множества с размерностью Хаусдорфа не менее единицы, набор расстояний должен иметь размерность Хаусдорфа не менее 1/2.^[6]

В 2018 году Гут, Иосевич, Оу и Ван (arXiv: 1808.09346) доказали, что если размерность Хаусдорфа плоского множества больше 5/4, то существует точка в множестве, такая, что мера Лебега расстояний от установленный в этот момент положительный.

Связанные предположения

Доказательство оценки, строго превышающей 1/2, для размерности набора расстояний в случае компактных плоских множеств с размерностью Хаусдорфа по крайней мере одной было бы эквивалентно разрешению нескольких других нерешенных гипотез. К ним относится гипотеза о Пол Эрдёш о существовании Борель подколец из действительные числа с дробной хаусдорфовой размерностью и вариант Какея набор задача о размерности Хаусдорфа множеств, таких что для каждого возможного направления существует отрезок прямой, пересечение которого с множеством имеет высокую размерность Хаусдорфа.^[7]

Другие функции расстояния

Для неевклидовых функций расстояния на плоскости, определяемой полигональными нормами, аналог гипотезы Фальконера неверен: существуют множества хаусдорфовой размерности два, множества расстояний которых имеют нулевую меру.^[8][9]

Рекомендации

1. Фалконер, К. Дж. (1985), "О размерностях Хаусдорфа множеств расстояний", Математика, 32 (2): 206–212 (1986), Дои:10.1112 / S0025579300010998, МИСТЕР  0834490. См., В частности, примечания после следствия 2.3. Хотя эта статья широко цитируется в качестве источника, сама гипотеза Фальконера в ней не фигурирует.
2. Штайнхаус, Гюго (1920), "Sur les distance des points dans les ensembles de mesure positive" (PDF), Фонд. Математика. (На французском), 1: 93–104.
3. Эрдоган, М. Бурак (2005), "Теорема о билинейном расширении Фурье и приложения к проблеме набора расстояний", Уведомления о международных математических исследованиях, 23: 1411–1425, CiteSeerX  10.1.1.121.7673, Дои:10.1155 / IMRN.2005.1411.
4. Бургейн, Жан (1994), "Хаусдорфова размерность и наборы расстояний", Израильский математический журнал, 87 (1–3): 193–201, Дои:10.1007 / BF02772994, МИСТЕР  1286826.
5. Вольф, Томас (1999), "Распад средних круговых преобразований Фурье мер", Уведомления о международных математических исследованиях (10): 547–567, Дои:10.1155 / S1073792899000288, МИСТЕР  1692851.
6. Маттила, Пертти (1987), "Сферические средние преобразования Фурье мер с конечной энергией; размерность пересечений и наборов расстояний", Математика, 34 (2): 207–228, Дои:10.1112 / S0025579300013462, МИСТЕР  0933500.
7. Кац, Нетс Хок; Тао, Теренс (2001), «Некоторые связи между гипотезой о дистанционном множестве Фальконера и множествами типа Фюрстенбурга», Нью-Йоркский математический журнал, 7: 149–187, МИСТЕР  1856956.
8. Фалконер, К. Дж. (Май 2004 г.), «Размеры пересечений и наборы расстояний для многогранных норм», Обмен реального анализа, 30 (2): 719–726, МИСТЕР  2177429.
9. Конягин Сергей; Шаба, Изабелла (2006), "Наборы расстояний хорошо распределенных плоских множеств для полигональных норм", Израильский математический журнал, 152: 157–179, arXiv:математика / 0405017, Дои:10.1007 / BF02771981, МИСТЕР  2214458.