Топология расширения

В топология, раздел математики, топология расширения это топология размещен на несвязный союз из топологическое пространство и другой набор. Существуют различные типы топологии расширений, описанные в разделах ниже.

Позволять Икс быть топологическим пространством и п множество, не пересекающееся с Икс. Рассмотрим в Икс ∪ п топология, открытые множества которой имеют вид А ∪ Q, куда А это открытый набор Икс и Q это подмножество п.

Закрытые наборы Икс ∪ п имеют форму B ∪ Q, куда B замкнутый набор Икс и Q это подмножество п.

По этим причинам эта топология называется топология расширения из Икс плюс п, с которой распространяется на Икс ∪ п открытый и закрытый наборы Икс. Как подмножества Икс ∪ п то топология подпространства из Икс это исходная топология Икс, а топология подпространства п это дискретная топология. Как топологическое пространство, Икс ∪ п гомеоморфен топологическая сумма из Икс и п, и Икс это закрытое подмножество из Икс ∪ п.

Если Y является топологическим пространством и р это подмножество Y, можно спросить, есть ли топология расширения Y - р плюс р совпадает с исходной топологией Y, и ответ в общем нет.

Обратите внимание на сходство этой конструкции топологии расширения и Одноточечная компактификация Александрова, в этом случае имея топологическое пространство Икс который желают компактифицировать, добавляя бесконечно удаленную точку ∞, рассматриваются замкнутые множества Икс ∪ {∞} как множества вида K, куда K замкнутый компакт Икс, или же B ∪ {∞}, где B это закрытый набор Икс.

Топология открытого расширения

Позволять Икс быть топологическим пространством и п набор, не пересекающийся с Икс. Рассмотрим в Икс ∪ п топология, открытые множества которой имеют вид Икс ∪ Q, куда Q это подмножество п, или же А, куда А это открытый набор Икс.

По этой причине эта топология называется топология открытого расширения из Икс плюс п, с которой распространяется на Икс ∪ п открытые наборы Икс. Как подмножества Икс ∪ п топология подпространства Икс это исходная топология Икс, а топология подпространства п - дискретная топология.

Закрытые наборы в Икс ∪ п имеют вид: Q, куда Q это подмножество п, или же B ∪ п, куда B это закрытый набор Икс. Обратите внимание, что п закрыт в Икс ∪ п и Икс открыто и плотно в Икс ∪ п.

Если Y топологическое пространство и р это подмножество Y, можно спросить, есть ли топология открытого расширения Y - р плюс р совпадает с исходной топологией Y, и ответ в общем нет.

Обратите внимание, что топология открытого расширения Икс ∪ п является меньше чем топология расширения Икс ∪ п.

Предполагая Икс и п не пустые, чтобы избежать тривиальности, вот несколько общих свойств топологии открытого расширения:^[1]

Если п конечно, Икс ∪ п является компактный. Так Икс ∪ п это компактификация из Икс в таком случае.
Икс ∪ п является связаны.
Если п имеет одну точку, Икс ∪ п является сверхсвязанный.

Для набора Z и точка п в Z, получаем исключенная точечная топология строительство с учетом Z дискретную топологию и применение конструкции топологии открытого расширения к Z - {п} плюс п.

Закрытая топология расширения

Позволять Икс быть топологическим пространством и п набор, не пересекающийся с Икс. Рассмотрим в Икс ∪ п топология, замкнутые множества которой имеют вид Икс ∪ Q, куда Q это подмножество п, или же B, куда B это закрытый набор Икс.

По этой причине эта топология называется закрытая топология расширения из Икс плюс п, с которой распространяется на Икс ∪ п закрытые наборы Икс. Как подмножества Икс ∪ п топология подпространства Икс это исходная топология Икс, а топология подпространства п - дискретная топология.

Открытые наборы Икс ∪ п имеют форму Q, куда Q это подмножество п, или же А ∪ п, куда А это открытый набор Икс. Обратите внимание, что п открыт в Икс ∪ п и Икс закрыт в Икс ∪ п.

Если Y является топологическим пространством и р это подмножество Y, можно спросить, является ли топология замкнутого расширения Y - р плюс р совпадает с исходной топологией Y, и ответ в общем нет.

Обратите внимание, что топология закрытого расширения Икс ∪ п является меньше чем топология расширения Икс ∪ п.

Для набора Z и точка п в Z, получаем топология конкретной точки строительство с учетом Z дискретную топологию и применение конструкции топологии замкнутого расширения к Z - {п} плюс п.

Примечания

^ Steen & Seebach, стр. 48

Топология расширения - Extension topology

Содержание