Теорема Эйлера о четырехугольнике - Eulers quadrilateral theorem

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Четырехугольная теорема Эйлера или же Закон Эйлера о четырехугольниках, названный в честь Леонард Эйлер (1707–1783), описывает соотношение между сторонами выпуклый четырехугольник и его диагонали. Это обобщение закон параллелограмма что, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теорема Пифагора. Из-за последнего повторная формулировка теоремы Пифагора в терминах четырехугольников иногда называется Теорема Эйлера – Пифагора.

Теорема и частные случаи

Для выпуклого четырехугольника со сторонами ${\displaystyle a,b,c,d}$, диагонали ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle f}$, и ${\displaystyle g}$ будучи отрезком прямой, соединяющим середины двух диагоналей, выполняются следующие уравнения:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Если четырехугольник параллелограмм, то середины диагоналей совпадают так, что соединительный отрезок прямой ${\displaystyle g}$ имеет длину 0. Кроме того, параллельные стороны имеют одинаковую длину, поэтому теорема Эйлера сводится к

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$

что является законом параллелограмма.

Если четырехугольник прямоугольник, то уравнение еще больше упрощается, поскольку теперь две диагонали также имеют одинаковую длину:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

Деление на 2 дает теорему Эйлера – Пифагора:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

Другими словами, в случае прямоугольника соотношение сторон четырехугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора.^[1]

Альтернативная формулировка и расширения

Теорема Эйлера с параллелограммом

Первоначально Эйлер вывел указанную выше теорему как следствие из несколько иной теоремы, которая требует введения дополнительной точки, но обеспечивает более структурное понимание.

Для данного выпуклого четырехугольника ${\displaystyle ABCD}$ Эйлер ввел дополнительную точку ${\displaystyle E}$ такой, что ${\displaystyle ABED}$ образует параллелограмм и тогда выполняется равенство:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

Расстояние ${\displaystyle |CE|}$ между дополнительной точкой ${\displaystyle E}$ и точка ${\displaystyle C}$ четырехугольник, не являющийся частью параллелограмма, можно рассматривать как измерение того, насколько четырехугольник отклоняется от параллелограмма и ${\displaystyle |CE|^{2}}$ - поправочный член, который необходимо добавить к исходному уравнению закона параллелограмма.^[2]

${\displaystyle M}$ быть серединой ${\displaystyle AC}$ дает ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$. С ${\displaystyle N}$ это середина ${\displaystyle BD}$ это также середина ${\displaystyle AE}$, так как ${\displaystyle AE}$ и ${\displaystyle BD}$ обе диагонали параллелограмма ${\displaystyle ABED}$. Это дает ${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$ и поэтому ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$. Следовательно, из теорема о перехвате (и его обратное), что ${\displaystyle CE}$ и ${\displaystyle NM}$ параллельны и ${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$, откуда следует теорема Эйлера.^[2]

Теорема Эйлера может быть распространена на более широкий набор четырехугольников, включая скрещенные и неплоские. Это справедливо для так называемых обобщенные четырехугольники, которые просто состоят из четырех произвольных точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ соединены ребрами так, что образуют график цикла.^[3]

Примечания

1. Локенат Дебнат: Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия. World Scientific, 2010 г., ISBN  9781848165267, стр. 105–107
2. Дина Хаунспергер, Стивен Кеннеди: Край Вселенной: празднование десятилетия математических горизонтов. МАА, 2006 г., ISBN  9780883855553, стр. 137–139
3. Джеффри А. Кэндалл: Теорема Эйлера для обобщенных четырехугольников.. Математический журнал колледжа, Vol. 33, № 5 (ноябрь 2002 г.), стр. 403–404 (JSTOR )

Рекомендации

• Дина Хаунспергер, Стивен Кеннеди: Край Вселенной: празднование десятилетия математических горизонтов. МАА, 2006 г., ISBN  9780883855553, стр. 137–139
• Локенат Дебнат: Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия. World Scientific, 2010 г., ISBN  9781848165267, стр. 105–107
• К. Эдвард Сандифер: Как это сделал Эйлер. МАА, 2007 г., ISBN  9780883855638, стр. 33–36
• Джеффри А. Кэндалл: Теорема Эйлера для обобщенных четырехугольников. Математический журнал колледжа, Vol. 33, № 5 (ноябрь 2002 г.), стр. 403–404 (JSTOR )
• Дитмар Херрманн: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, 2013 г., ISBN  9783642376122, п. 418

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». MathWorld.