Спектральная последовательность Эйленберга – Мура - Eilenberg–Moore spectral sequence

В математика, в области алгебраическая топология, то Спектральная последовательность Эйленберга – Мура обращается к расчету группы гомологии из откат через расслоение. В спектральная последовательность формулирует расчет на основе знания гомологии остальных пространств. Сэмюэл Эйленберг и Джон С. Мур в исходной статье рассматривается это для особые гомологии.

Мотивация

Позволять ${displaystyle k}$ быть поле и разреши ${displaystyle H_{ast }(-)=H_{ast }(-,k)}$ и ${displaystyle H^{ast }(-)=H^{ast }(-,k)}$обозначать особые гомологии и особые когомологии с коэффициентами в k, соответственно.

Рассмотрим следующий откат ${displaystyle E_{f}}$ непрерывной карты п:

${displaystyle {egin{array}{c c c}E_{f}&ightarrow &Edownarrow &&downarrow {p}X&ightarrow _{f}&Bend{array}}}$

Часто возникает вопрос: как гомология волокнистого продукта, ${displaystyle E_{f}}$, относится к гомологиям B, Икс и E. Например, если B это точка, то откат просто обычный товар ${displaystyle E imes X}$. В этом случае Формула Кюннета говорит

${displaystyle H^{*}(E_{f})=H^{*}(X imes E)cong H^{*}(X)otimes _{k}H^{*}(E).}$

Однако это соотношение неверно в более общих ситуациях. Спектральная последовательность Эйленберга-Мура - это устройство, которое позволяет вычислять (ко) гомологию волоконного продукта в определенных ситуациях.

Заявление

Спектральные последовательности Эйленберга-Мура обобщают указанный выше изоморфизм на ситуацию, когда п это расслоение топологических пространств и базы B является односвязный. Тогда существует сходящаяся спектральная последовательность с

${displaystyle E_{2}^{ast ,ast }={ ext{Tor}}_{H^{ast }(B)}^{ast ,ast }(H^{ast }(X),H^{ast }(E))Rightarrow H^{ast }(E_{f}).}$

Это обобщение, поскольку ноль Функтор Tor - это просто тензорное произведение, а в указанном выше частном случае когомологии точки B это просто поле коэффициентов k (в степени 0).

Двойственно имеем следующую гомологическую спектральную последовательность:

${displaystyle E_{ast ,ast }^{2}={ ext{Cotor}}_{ast ,ast }^{H_{ast }(B)}(H_{ast }(X),H_{ast }(E))Rightarrow H_{ast }(E_{f}).}$

Показания к доказательству

Спектральная последовательность возникает в результате изучения дифференцированно объекты (цепные комплексы ), а не пробелы. Ниже обсуждается первоначальная гомологическая конструкция Эйленберга и Мура. Случай когомологий получается аналогично.

Позволять

${displaystyle S_{ast }(-)=S_{ast }(-,k)}$

быть особая цепочка функтор с коэффициентами в ${displaystyle k}$. Посредством Теорема Эйленберга – Зильбера., ${displaystyle S_{ast }(B)}$ имеет дифференциал коалгебра структура над ${displaystyle k}$ со структурными картами

${displaystyle S_{ast }(B){xrightarrow { riangle }}S_{ast }(B imes B){xrightarrow {simeq }}S_{ast }(B)otimes S_{ast }(B).}$

Проще говоря, карта присваивается особой цепочке s: Δ^п → B состав s и диагональное включение B ⊂ B × B. Аналогично карты ${displaystyle f}$ и ${displaystyle p}$ индуцировать отображения дифференциальных градуированных коалгебр

${displaystyle f_{ast }colon S_{ast }(X)ightarrow S_{ast }(B)}$, ${displaystyle p_{ast }colon S_{ast }(E)ightarrow S_{ast }(B)}$.

На языке комодули, они наделяют ${displaystyle S_{ast }(E)}$ и ${displaystyle S_{ast }(X)}$ с дифференциальными градуированными структурами комодулей над ${displaystyle S_{ast }(B)}$, со структурными картами

${displaystyle S_{ast }(X){xrightarrow { riangle }}S_{ast }(X)otimes S_{ast }(X){xrightarrow {f_{ast }otimes 1}}S_{ast }(B)otimes S_{ast }(X)}$

и аналогично для E вместо Икс. Теперь можно построить так называемый кобар разрешение за

${displaystyle S_{ast }(X)}$

как дифференциал ${displaystyle S_{ast }(B)}$ комодуль. Резольвента Кобара - стандартный прием в дифференциальной гомологической алгебре:

${displaystyle {mathcal {C}}(S_{ast }(X),S_{ast }(B))=cdots {xleftarrow {delta _{2}}}{mathcal {C}}_{-2}(S_{ast }(X),S_{ast }(B)){xleftarrow {delta _{1}}}{mathcal {C}}_{-1}(S_{ast }(X),S_{ast }(B)){xleftarrow {delta _{0}}}S_{ast }(X)otimes S_{ast }(B),}$

где п-й семестр ${displaystyle {mathcal {C}}_{-n}}$ дан кем-то

${displaystyle {mathcal {C}}_{-n}(S_{ast }(X),S_{ast }(B))=S_{ast }(X)otimes underbrace {S_{ast }(B)otimes cdots otimes S_{ast }(B)} _{n}otimes S_{ast }(B).}$

Карты ${displaystyle delta _{n}}$ даны

${displaystyle lambda _{f}otimes cdots otimes 1+sum _{i=2}^{n}1otimes cdots otimes riangle _{i}otimes cdots otimes 1,}$

куда ${displaystyle lambda _{f}}$ структурная карта для ${displaystyle S_{ast }(X)}$ как левый ${displaystyle S_{ast }(B)}$ комодуль.

Разрешение кобара составляет бикомплекс, одна степень, полученная в результате классификации цепных комплексов S_∗(-), вторая - симплициальная степень п. В полный комплекс бикомплекса обозначается ${displaystyle mathbf {mathcal {C}} _{ullet }}$.

Связь указанной алгебраической конструкции с топологической ситуацией состоит в следующем. При сделанных выше предположениях существует карта

${displaystyle Theta colon mathbf {mathcal {C}} _{ullet {{ ext{ }}Box _{S_{ast }(B)}}}S_{ast }(E)ightarrow S_{ast }(E_{f},k)}$

что вызывает квазиизоморфизм (т.е. индуцирование изоморфизма на группах гомологий)

${displaystyle Theta _{ast }colon operatorname {Cotor} ^{S_{ast }(B)}(S_{ast }(X)S_{ast }(E))ightarrow H_{ast }(E_{f}),}$

куда ${displaystyle Box _{S_{ast }(B)}}$ это котензорное произведение и Cotor (cotorsion) - этопроизводный функтор для котензор товар.

Вычислять

${displaystyle H_{ast }(mathbf {mathcal {C}} _{ullet {{ ext{ }}Box _{S_{ast }(B)}}}S_{ast }(E))}$,

Посмотреть

${displaystyle mathbf {mathcal {C}} _{ullet {{ ext{ }}Box _{S_{ast }(B)}}}S_{ast }(E)}$

как двойной комплекс.

Для любого бикомплекса есть два фильтрации (см. Джон МакКлири (2001 ) или спектральная последовательность фильтрованного комплекса); в этом случае спектральная последовательность Эйленберга-Мура является результатом фильтрации путем увеличения степени гомологии (по столбцам в стандартном изображении спектральной последовательности). Эта фильтрация дает

${displaystyle E^{2}=operatorname {Cotor} ^{H_{ast }(B)}(H_{ast }(X),H_{ast }(E)).}$

Эти результаты были уточнены различными способами. Например, Уильям Дж. Дуайер  (1975 ) уточнил результаты сходимости, включив в них пространства, для которых

${displaystyle pi _{1}(B)}$

действует нильпотентно на

${displaystyle H_{i}(E_{f})}$

для всех ${displaystyle igeq 0}$и Брук Шипли  (1996 ) далее обобщил это, чтобы включить произвольные откаты.

Первоначальная конструкция не поддается вычислениям с другими теориями гомологий, поскольку нет оснований ожидать, что такой процесс будет работать для теории гомологий, не производной от цепных комплексов. Однако можно аксиоматизировать вышеупомянутую процедуру и дать условия, при которых указанная выше спектральная последовательность выполняется для общей теории (ко) гомологий, см. Оригинальную работу Ларри Смита (Смит 1970 ) или введение в (Хэтчер 2002 ).

Рекомендации

• Дуайер, Уильям Г. (1975), «Экзотическая сходимость спектральной последовательности Эйленберга – Мура», Иллинойсский журнал математики, 19 (4): 607–617, ISSN  0019-2082, МИСТЕР  0383409
• Эйленберг, Самуэль; Мур, Джон К. (1962), "Пределы и спектральные последовательности", Топология. Международный журнал математики, 1 (1): 1–23, Дои:10.1016/0040-9383(62)90093-9
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-79540-1
• МакКлири, Джон (2001), "Главы 7 и 8: Спектральная последовательность Эйленберга-Мура I и II", Руководство пользователя по спектральным последовательностям, Кембриджские исследования по высшей математике, 58, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-56759-6
• Шипли, Брук Э. (1996), "Сходимость спектральной последовательности гомологий косимплициального пространства", Американский журнал математики, 118 (1): 179–207, CiteSeerX  10.1.1.549.661, Дои:10.1353 / ajm.1996.0004
• Смит, Ларри (1970), Лекции о спектральной последовательности Эйленберга - Мура, Конспект лекций по математике, 134, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0275435

дальнейшее чтение

• Аллен Хэтчер, Спектральные последовательности в алгебраической топологии, глава 3. Пространства Эйленберга – Маклейна. [1]