Теорема Эйленберга – Зильбера. - Eilenberg–Zilber theorem

В математика особенно в алгебраическая топология, то Теорема Эйленберга – Зильбера. является важным результатом в установлении связи между группы гомологии из пространство продукта ${\displaystyle X\times Y}$ и те из пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Теорема впервые появилась в статье 1953 г. Американский журнал математики к Сэмюэл Эйленберг и Джозеф А. Зильбер. Один из возможных путей к доказательству - это ациклическая модель теорема.

Формулировка теоремы

Теорема может быть сформулирована следующим образом. Предполагать ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ находятся топологические пространства, Тогда у нас есть три цепные комплексы ${\displaystyle C_{*}(X)}$, ${\displaystyle C_{*}(Y)}$, и ${\displaystyle C_{*}(X\times Y)}$. (Этот аргумент в равной степени применим к симплициальный или сингулярные цепные комплексы). тензорное произведение сложный ${\displaystyle C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}$, дифференциал которой по определению равен

${\displaystyle \delta (\sigma \otimes \tau )=\delta _{X}\sigma \otimes \tau +(-1)^{p}\sigma \otimes \delta _{Y}\tau }$

за ${\displaystyle \sigma \in C_{p}(X)}$ и ${\displaystyle \delta _{X}}$, ${\displaystyle \delta _{Y}}$ дифференциалы на ${\displaystyle C_{*}(X)}$,${\displaystyle C_{*}(Y)}$.

Тогда теорема говорит, что мы имеем цепные карты

${\displaystyle F\colon C_{*}(X\times Y)\rightarrow C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y),\quad G\colon C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)\rightarrow C_{*}(X\times Y)}$

такой, что ${\displaystyle FG}$ это личность и ${\displaystyle GF}$ является цепно-гомотопный к личности. Более того, карты естественный в ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Следовательно, два комплекса должны иметь одинаковые гомология:

${\displaystyle H_{*}(C_{*}(X\times Y))\cong H_{*}(C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)).}$

Важное обобщение неабелев Случай использования скрещенных комплексов приведен в статье Эндрю Тонкса ниже. Это дает полную информацию о результате на (симплициальном) классификация пространства скрещенного комплекса, сформулированного, но не доказанного в статье Рональд Браун и Филип Дж. Хиггинс о классификации пространств.

Последствия

Теорема Эйленберга – Зильбера является ключевым элементом в установлении Теорема Кюннета, который выражает группы гомологий ${\displaystyle H_{*}(X\times Y)}$ с точки зрения ${\displaystyle H_{*}(X)}$ и ${\displaystyle H_{*}(Y)}$. В свете теоремы Эйленберга – Зильбера содержание теоремы Кюннета состоит в анализе того, как гомологии комплекса тензорного произведения соотносятся с гомологиями факторов.

Смотрите также

• Ациклическая модель

Рекомендации

• Эйленберг, Самуэль; Зильбер, Джозеф А. (1953), "О продуктах комплексов", Американский журнал математики, 75 (1), стр. 200–204, Дои:10.2307/2372629, JSTOR  2372629, МИСТЕР  0052767.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-79540-1.
• Тонкс, Эндрю (2003), "О теореме Эйленберга – Зильбера для скрещенных комплексов", Журнал чистой и прикладной алгебры, 179 (1–2), стр. 199–230, Дои:10.1016 / S0022-4049 (02) 00160-3, МИСТЕР  1958384.
• Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж. (1991), "Классифицирующее пространство скрещенного комплекса", Математические труды Кембриджского философского общества, 110, стр. 95–120, CiteSeerX  10.1.1.145.9813, Дои:10.1017 / S0305004100070158.