Расстояние между двумя прямыми линиями - Distance between two straight lines

В расстояние между двумя параллельно линии в самолет - минимальное расстояние между любыми двумя точками, лежащими на прямых. Это равно перпендикуляр расстояние от любого точка от одной строки к другой.

В случае непараллельных копланарных пересекающиеся линии, расстояние между ними равно нулю. для непараллельных и некомпланарных прямых (косые линии ), можно рассчитать кратчайшее расстояние между ближайшими точками.

Формула и доказательство

Поскольку линии параллельны, расстояние между ними по перпендикуляру является постоянным, поэтому не имеет значения, какая точка выбрана для измерения расстояния. Учитывая уравнения двух не вертикальных параллельных прямых

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

расстояние между двумя линиями - это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикулярной линией

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

Это расстояние можно найти, решив сначала линейные системы

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

и

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

чтобы получить координаты точек пересечения. Решениями линейных систем являются точки

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

и

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

Расстояние между точками

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

что сводится к

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Когда строки заданы

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

расстояние между ними можно выразить как

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Смотрите также

• Расстояние от точки до линии
• Наклонные линии # Расстояние

Рекомендации

• Abstand В: Schülerduden - Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN  3-411-04275-3, стр. 17-19 (немецкий)
• Хардт Кремер, Рольф Хёвельманн, Инго Клемиш: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra. Дистервег, 1988 г., ISBN  3-425-05301-9, п. 298 (немецкий)

внешняя ссылка

• Флориан Модлер: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung - Wann welche Formel?, стр. 44-59 (немецкий)
• А. Дж. Хобсон: «ПРОСТО МАТЕМАТИКИ» - НОМЕР 8.5 - ВЕКТОРЫ 5 (векторные уравнения прямых), стр. 8-9