Суточная свертка - Day convolution

В математике, особенно в теория категорий, Суточная свертка это операция на функторы это можно рассматривать как категоризованный версия свертка функций. Впервые он был представлен Брайаном Дэем в 1970 году. ^[1] в общем контексте обогащенный категории функторов. Суточная свертка действует как тензорное произведение для моноидальная категория структура на категории функторов ${\displaystyle [\mathbf {C} ,V]}$ над некоторой моноидальной категорией ${\displaystyle V}$.

Определение

Позволять ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes _{c})}$ - моноидальная категория, обогащенная над симметричной моноидальной замкнутой категорией ${\displaystyle (V,\otimes )}$. Учитывая два функтора ${\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to V}$, мы определяем их дневную свертку как коенд.^[2]

${\displaystyle F\otimes _{d}G=\int ^{x,y\in \mathbf {C} }\mathbf {C} (x\otimes _{c}y,-)\otimes Fx\otimes Gy}$

Если ${\displaystyle \otimes _{c}}$ симметрично, то ${\displaystyle \otimes _{d}}$ также симметричен. Мы можем показать, что это определяет ассоциативное моноидальное произведение.

${\displaystyle {\begin{aligned}&(F\otimes _{d}G)\otimes _{d}H\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}(F\otimes _{d}G)c_{1}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}\left(\int ^{c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\right)\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{2}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1}c_{3}}Fc_{3}\otimes (G\otimes _{d}H)c_{1}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&F\otimes _{d}(G\otimes _{d}H)\end{aligned}}}$

использованная литература

1. День, Брайан (1970). «О замкнутых категориях функторов». Отчеты семинара IV категории Среднего Запада, Конспект лекций по математике. 139: 1–38.
2. Лорегиан, Фоско (2015). «Это (со) конец, мой единственный (со) друг». п. 51. arXiv:1501.02503 [math.CT ].

внешние ссылки

• https://ncatlab.org/nlab/show/Day+convolution