Теорема Дарбу (анализ) - Darbouxs theorem (analysis)

В математике Теорема Дарбу это теорема в реальный анализ, названный в честь Жан Гастон Дарбу. В нем говорится, что каждая функция, являющаяся результатом дифференциация другой функции имеет недвижимость средней стоимости: the изображение из интервал это тоже интервал.

Когда ƒ является непрерывно дифференцируемый (ƒ в C¹([а,б])), это следствие теорема о промежуточном значении. Но даже когда ƒ ′ является нет непрерывно, теорема Дарбу налагает серьезные ограничения на то, что это может быть.

Теорема Дарбу

Позволять ${ displaystyle I}$ быть закрытый интервал, ${ displaystyle f двоеточие I to mathbb {R}}$ действительнозначная дифференцируемая функция. потом ${ displaystyle f '}$ имеет недвижимость средней стоимости: Если ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ точки в ${ displaystyle I}$ с ${ displaystyle a$ , то для каждого ${ displaystyle y}$ между ${ displaystyle f '(а)}$ и ${ displaystyle f '(b)}$ , существует ${ displaystyle x}$ в ${ Displaystyle (а, б)}$ такой, что ${ displaystyle f '(x) = y}$ .^[1]^[2]^[3]

Доказательства

Доказательство 1. Первое доказательство основано на теорема об экстремальном значении.

Если ${ displaystyle y}$ равно ${ displaystyle f '(а)}$ или же ${ displaystyle f '(b)}$ , затем установив ${ displaystyle x}$ равно ${ displaystyle a}$ или же ${ displaystyle b}$ , соответственно, дает желаемый результат. Теперь предположим, что ${ displaystyle y}$ строго между ${ displaystyle f '(а)}$ и ${ displaystyle f '(b)}$ , и в частности, что ${ displaystyle f '(a)> y> f' (b)}$ . Позволять ${ displaystyle varphi двоеточие I to mathbb {R}}$ такой, что ${ Displaystyle varphi (т) = е (т) -yt}$ . Если это так, ${ displaystyle f '(a)$ мы корректируем наше нижеприведенное доказательство, вместо этого утверждая, что ${ displaystyle varphi}$ имеет минимум на ${ Displaystyle [а, б]}$ .

С ${ displaystyle varphi}$ непрерывна на отрезке ${ Displaystyle [а, б]}$ , максимальное значение ${ displaystyle varphi}$ на ${ Displaystyle [а, б]}$ достигается в какой-то момент ${ Displaystyle [а, б]}$ , согласно теорема об экстремальном значении.

Потому что ${ Displaystyle varphi '(а) = f' (а) -y> 0}$ , мы знаем ${ displaystyle varphi}$ не может достичь своего максимального значения при ${ displaystyle a}$ . (Если да, то ${ Displaystyle ( varphi (т) - varphi (а)) / (т-а) Leq 0}$ для всех ${ Displaystyle т в [а, б]}$ , что означает ${ Displaystyle varphi '(а) leq 0}$ .)

Точно так же, потому что ${ displaystyle varphi '(b) = f' (b) -y <0}$ , мы знаем ${ displaystyle varphi}$ не может достичь своего максимального значения при ${ displaystyle b}$ .

Следовательно, ${ displaystyle varphi}$ должен достичь своего максимального значения в какой-то момент ${ Displaystyle х в (а, б)}$ . Следовательно, по Теорема Ферма, ${ Displaystyle varphi '(х) = 0}$ , т.е. ${ displaystyle f '(x) = y}$ .

Доказательство 2. Второе доказательство основано на объединении теорема о среднем значении и теорема о промежуточном значении.^[1]^[2]

Определять ${ displaystyle c = { frac {1} {2}} (а + b)}$ .За ${ displaystyle a leq t leq c,}$ определять ${ Displaystyle альфа (т) = а}$ и ${ Displaystyle бета (т) = 2т-а}$ .И для ${ displaystyle c leq t leq b,}$ определять ${ Displaystyle альфа (т) = 2t-b}$ и ${ Displaystyle бета (т) = Ь}$ .

Таким образом, для ${ Displaystyle т в (а, б)}$ у нас есть ${ Displaystyle а Leq альфа (т) < бета (т) Leq b}$ .Теперь определите ${ Displaystyle г (т) = { гидроразрыва {(е сирк бета) (т) - (е сирк альфа) (т)} { бета (т) - альфа (т)}}}$ с ${ Displaystyle а <т <Ь}$ . ${ displaystyle , g}$ непрерывно в ${ Displaystyle (а, б)}$ .

Более того, ${ Displaystyle г (т) rightarrow {е} '(а)}$ когда ${ displaystyle t rightarrow a}$ и ${ displaystyle g (t) rightarrow {f} '(b)}$ когда ${ displaystyle t rightarrow b}$ ; следовательно, из теоремы о промежуточном значении, если ${ displaystyle y in ({f} '(а), {f}' (b))}$ тогда существует ${ displaystyle t_ {0} in (a, b)}$ такой, что ${ displaystyle g (t_ {0}) = y}$ .Давайте исправим ${ displaystyle t_ {0}}$ .

Из теоремы о среднем значении существует точка ${ Displaystyle х в ( альфа (т_ {0}), бета (т_ {0}))}$ такой, что ${ displaystyle {f} '(x) = g (t_ {0})}$ .Следовательно, ${ displaystyle {f} '(x) = y}$ .

Функция Дарбу

А Функция Дарбу это функция с действительным знаком ƒ который имеет "свойство промежуточного значения": для любых двух значений а и б в области ƒ, и любые у между ƒ(а) и ƒ(б), существует некоторое c между а и б с ƒ(c) = у.^[4] Посредством теорема о промежуточном значении, каждый непрерывная функция на настоящий интервал является функцией Дарбу. Вклад Дарбу состоял в том, чтобы показать, что существуют разрывные функции Дарбу.

Каждый прерывность функции Дарбу есть существенный, то есть в любой точке разрыва не существует по крайней мере одного из левого или правого пределов.

Примером функции Дарбу, разрывной в одной точке, является синусоида тополога функция:

{ displaystyle x mapsto { begin {cases} sin (1 / x) & { text {for}} x neq 0, 0 & { text {for}} x = 0. end {cases }}}

По теореме Дарбу производная любой дифференцируемой функции является функцией Дарбу. В частности, производная функции ${ Displaystyle х mapsto х ^ {2} грех (1 / х)}$ является функцией Дарбу, даже если она не непрерывна в одной точке.

Пример функции Дарбу, которая нигде непрерывный это Основание 13 Конвея.

Функции Дарбу - довольно общий класс функций. Оказывается, любая вещественная функция ƒ на действительной прямой можно записать как сумму двух функций Дарбу.^[5] Отсюда, в частности, следует, что класс функций Дарбу не замкнут относительно сложения.

А сильно функция Дарбу - это тот, для которого изображение каждого (непустого) открытого интервала представляет собой целую реальную линию. В Основание 13 Конвея это снова пример.^[4]

Примечания

^ ^а ^б Апостол, Том М .: Математический анализ: современный подход к продвинутому исчислению, 2-е издание, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), стр.112.
^ ^а ^б Ольсен, Ларс: Новое доказательство теоремы Дарбу, Vol. 111, No. 8 (октябрь 2004 г.) (стр. 713–715), The American Mathematical Monthly
^ Рудин, Вальтер: Принципы математического анализа, 3-е издание, MacGraw-Hill, Inc. (1976), стр. 108
^ ^а ^б Цесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика. Тексты студентов Лондонского математического общества. 39. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 106–111. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067.
^ Брукнер, Эндрю М: Дифференциация реальных функций, 2-е изд, стр. 6, Американское математическое общество, 1994

внешняя ссылка

Эта статья включает материал из теоремы Дарбу о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.
«Теорема Дарбу», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[Apostol1974-1] а ^б Апостол, Том М .: Математический анализ: современный подход к продвинутому исчислению, 2-е издание, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), стр.112.

[Olsen2004-2] а ^б Ольсен, Ларс: Новое доказательство теоремы Дарбу, Vol. 111, No. 8 (октябрь 2004 г.) (стр. 713–715), The American Mathematical Monthly

[Rudin1976-3] Рудин, Вальтер: Принципы математического анализа, 3-е издание, MacGraw-Hill, Inc. (1976), стр. 108

[Cie-4] а ^б Цесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика. Тексты студентов Лондонского математического общества. 39. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 106–111. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067.

[5] Брукнер, Эндрю М: Дифференциация реальных функций, 2-е изд, стр. 6, Американское математическое общество, 1994

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]