Формула даламбера - dAlemberts formula

В математика, и в частности уравнения в частных производных (PDE), формула даламбера является общим решением одномерной волновое уравнение ${\displaystyle u_{tt}(x,t)=c^{2}u_{xx}(x,t)}$ (где нижние индексы указывают частичная дифференциация, с использованием оператор Даламбера, PDE становится: ${\displaystyle \Box u=0}$).

Решение зависит от первоначальные условия в ${\displaystyle t=0}$: ${\displaystyle u(x,0)}$ и ${\displaystyle u_{t}(x,0)}$Состоит из отдельных условий начальных условий. ${\displaystyle u(x,0)}$ и ${\displaystyle u_{t}(x,0)}$:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[u(x-ct,0)+u(x+ct,0)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}u_{t}(\xi ,0)\,d\xi .}$

Назван в честь математика. Жан ле Ронд д'Аламбер, который вывел его в 1747 году как решение проблемы вибрирующая струна.^[1]

Подробности

В характеристики PDE являются ${\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} \,}$, поэтому мы можем использовать замену переменных ${\displaystyle \mu =x+ct,\eta =x-ct\,}$ преобразовать PDE в ${\displaystyle u_{\mu \eta }=0\,}$. Общее решение этой PDE: ${\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )\,}$ куда ${\displaystyle F\,}$ и ${\displaystyle G\,}$ находятся ${\displaystyle C^{1}\,}$ функции. Назад в ${\displaystyle x,t\,}$ координаты,

${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,}$

${\displaystyle u\,}$ является ${\displaystyle C^{2}\,}$ если ${\displaystyle F\,}$ и ${\displaystyle G\,}$ находятся ${\displaystyle C^{2}\,}$.

Это решение ${\displaystyle u\,}$ можно интерпретировать как две волны с постоянной скоростью ${\displaystyle c\,}$ движется в противоположных направлениях по оси x.

Теперь рассмотрим это решение с Данные Коши ${\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)\,}$.

С помощью ${\displaystyle u(x,0)=g(x)\,}$ мы получили ${\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)\,}$.

С помощью ${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)\,}$ мы получили ${\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,}$.

Мы можем проинтегрировать последнее уравнение, чтобы получить

${\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.\,}$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы получить

${\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)\,}$

${\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).\,}$

Теперь, используя

${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,}$

Формула Даламбера принимает следующий вид:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}$^[2]

Обобщение для неоднородных канонических гиперболических дифференциальных уравнений

Общий вид неоднородный дифференциальное уравнение канонического гиперболического типа имеет вид:

${\displaystyle u_{tt}-u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$

за ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )}$.

Все дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно преобразовать в соответствующие им уравнения. канонические формы. Это уравнение является одним из трех случаев: Эллиптическое уравнение в частных производных, Параболическое уравнение в частных производных и Гиперболическое уравнение в частных производных.

Единственная разница между однородный и неоднородный (частичный) дифференциальное уравнение в том, что в однородной форме мы позволяем только 0 стоять справа ( ${\displaystyle f(x,t)=0}$ ), а неоднородный - гораздо более общий, как в ${\displaystyle f(x,t)}$ может быть любой функцией, если она непрерывный и может быть непрерывно дифференцированный дважды.

Решение вышеуказанного уравнения дается формулой:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}{\Bigl (}g(x+t)+g(x-t){\biggr )}+{\frac {1}{2}}{\biggl (}\int \limits _{x-t}^{x+t}h(s)ds{\biggr )}+{\frac {1}{2}}{\biggl (}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-t+\tau }^{x+t-\tau }f(s,\tau )dsd\tau {\Bigr )}}$.

Если ${\displaystyle g(x)=0}$, первая часть исчезает, если ${\displaystyle h(x)=0}$, вторая часть исчезает, а если ${\displaystyle f(x)=0}$, третья часть исчезает из решения, поскольку интегрирование 0-функции между любыми двумя границами всегда приводит к 0.

Это означает, что однородное уравнение ( ${\displaystyle f(x,t)=0}$ ) возвращает нашу исходную формулу для случая ${\displaystyle c=1}$.

Смотрите также

• Оператор Даламбера
• Механическая волна
• Волновое уравнение

Примечания

1. Даламбер (1747) "Recherches sur la Courbe que forme une corde tenuë mise envibration" (Исследования кривой, которую образует натянутая веревка [веревка] [когда] вибрирует), Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin, т. 3, страницы 214-219. Смотрите также: Даламбер (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenuë mise en vibation" (Дальнейшие исследования кривой, которую образует натянутый шнур [когда] вибрирует), Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin, т. 3, страницы 220-249. Смотрите также: Даламбер (1750) "Дополнение au mémoire sur la courbe que forme une corde tenuë mise envibration", Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin, т. 6, страницы 355-360.
2. Пинчовер, Рубинштейн (2013). Введение в уравнения с частными производными (8-е издание). Издательство Кембриджского университета. С. 76–92. ISBN  978-0-521-84886-2.

внешняя ссылка

• Пример решения неоднородного волнового уравнения с сайта www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html