Кубоидные гипотезы - Cuboid conjectures

Три кубовидные гипотезы три математический предложения, требующие несводимость трех одномерных многочлены с целое число коэффициенты в зависимости от нескольких целочисленных параметров. Они не доказаны и не опровергнуты.

Первая гипотеза кубоида

Гипотеза кубоида 1. Для любых двух положительных совмещать целые числа ${\displaystyle \displaystyle a\neq u}$ полином восьмой степени

${\displaystyle P_{au}(t)=t^{8}+6\,(u^{2}-a^{2})\,t^{6}+(a^{4}-4\,a^{2}\,u^{2}+u^{4})\,t^{4}-6\,a^{2}\,u^{2}\,(u^{2}-a^{2})\,t^{2}+u^{4}\,a^{4}}$

(1)

неприводима над звенеть целых чисел ${\displaystyle \displaystyle \mathbb {Z} }$.

Вторая гипотеза кубоида

Гипотеза кубоида 2. Для любых двух положительных взаимно простых целых чисел ${\displaystyle \displaystyle p\neq q}$ многочлен десятой степени

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{pq}(t)={}&t^{10}+(2q^{2}+p^{2})(3q^{2}-2p^{2})t^{8}\\[4pt]&{}+(q^{8}+10p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}-14p^{6}q^{2}+p^{8})t^{6}\\[4pt]&{}-p^{2}q^{2}(q^{8}-14p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}+10p^{6}\,q^{2}+p^{8})t^{4}\\[4pt]&{}-p^{6}\,q^{6}\,(q^{2}+2\,p^{2})\,(-2\,q^{2}+3\,p^{2})\,t^{2}\\[4pt]&{}-q^{10}\,p^{10}\end{aligned}}}$

(2)

неприводимо над кольцом целых чисел ${\displaystyle \displaystyle \mathbb {Z} }$.

Третья гипотеза кубоида

Гипотеза кубоида 3. Для любых трех положительных взаимно простых целых чисел ${\displaystyle \displaystyle a}$, ${\displaystyle \displaystyle b}$, ${\displaystyle \displaystyle u}$ так что ни одно из условий

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\text{1)}}\qquad a=b;\qquad \qquad &{\text{3)}}\qquad b\,u=a^{2};\qquad \qquad &{\text{5)}}\qquad a=u;\\{\text{2)}}\qquad a=b=u;\qquad \qquad &{\text{4)}}\qquad a\,u=b^{2};\qquad \qquad &{\text{6)}}\qquad b=u\end{array}}}$

(3)

выполнены, многочлен двенадцатой степени

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{abu}(t)={}&t^{12}+(6u^{2}-2a^{2}-2b^{2})t^{10}\\&{}+(u^{4}+b^{4}+a^{4}+4a^{2}u^{2}+4b^{2}u^{2}-12b^{2}a^{2})t^{8}\\&{}+(6a^{4}u^{2}+6u^{2}b^{4}-8a^{2}b^{2}u^{2}-2u^{4}a^{2}-2u^{4}b^{2}-2a^{4}b^{2}-2b^{4}a^{2})t^{6}\\&{}+(4u^{2}b^{4}a^{2}+4a^{4}u^{2}b^{2}-12u^{4}a^{2}b^{2}+u^{4}a^{4}+u^{4}b^{4}+a^{4}b^{4})t^{4}\\&{}+(6a^{4}u^{2}b^{4}-2u^{4}a^{4}b^{2}-2u^{4}a^{2}b^{4})t^{2}+u^{4}a^{4}b^{4}.\end{aligned}}}$

(4)

неприводимо над кольцом целых чисел ${\displaystyle \displaystyle \mathbb {Z} }$.

Фон

Гипотезы 1, 2 и 3 связаны с идеальный кубоид проблема.^[1][2] Хотя они не эквивалентны проблеме идеального кубоида, если все эти три гипотезы верны, то совершенных кубоидов не существует.

Рекомендации

1. Шарипов Р.А. (2012). «Совершенные кубоиды и неприводимые многочлены». Уфимский математический журнал. 4 (1): 153–160. arXiv:1108.5348. Bibcode:2011arXiv1108.5348S.
2. Шарипов Р.А. (2015). «Асимптотический подход к проблеме идеального кубоида». Уфимский математический журнал. 7 (3): 100–113.