Теорема Крамера – Вольда - Cramér–Wold theorem

В математика, то Теорема Крамера – Вольда в теория меры заявляет, что Борель вероятностная мера на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. Он используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальд Крамер и Герман Оле Андреас Вольд.

Позволять

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})}$

и

${\displaystyle \;{\overline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})}$

быть случайные векторы измеренияk. потом ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ сходится в распределении к ${\displaystyle {\overline {X}}}$ если и только если:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}{\overset {D}{\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.}$

для каждого ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$, то есть если каждый фиксированный линейная комбинация координат ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ сходится по распределению к соответствующей линейной комбинации координат ${\displaystyle {\overline {X}}}$.^[1]

Сноски

1. Биллингсли 1995, п. 383

Рекомендации

• В этой статье использованы материалы из Теорема Крамера-Вольда на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.
• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-00710-4.
• Крамер, Харальд; Уолд, Герман (1936). «Некоторые теоремы о функциях распределения». Журнал Лондонского математического общества. 11 (4): 290–294. Дои:10.1112 / jlms / s1-11.4.290.

внешняя ссылка

• Проект Евклид: «Когда вероятностная мера определяется бесконечным числом проекций?»