Локсодромная последовательность Кокстера касательных окружностей - Coxeters loxodromic sequence of tangent circles

Синий круг 0 ​​касается окружностей 1, 2 и 3, а также предыдущих окружностей -1, -2 и -3.

В геометрия, Локсодромная последовательность Кокстера касательных окружностей представляет собой бесконечную последовательность окружностей, расположенных так, что любые четыре последовательных окружности в этой последовательности попарно касаются друг друга. Это означает, что каждый круг в последовательности касается трех окружностей, которые ему предшествуют, а также трех окружностей, следующих за ним.

Радиусы окружностей в последовательности образуют геометрическая прогрессия с соотношением

${\displaystyle k=\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2.89005\ ,}$

где φ - Золотое сечение. k и обратная ему удовлетворяют уравнению

${\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})^{2}=2(1+x^{2}+x^{4}+x^{6})\ ,}$

и поэтому любые четыре последовательных круга в последовательности удовлетворяют условиям Теорема Декарта.

Центры окружностей в последовательности лежат на логарифмическая спираль. Если смотреть из центра спирали, угол между центрами следующих друг за другом кругов равен

${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {-1}{\varphi }}\right)\approx 128.173^{\circ }\ .}$

Конструкция названа в честь геометра. Дональд Коксетер, который обобщил двумерный случай на последовательности сфер и гиперсферы в высших измерениях. Его можно интерпретировать как вырожденный частный случай Спираль Дойля.

Смотрите также

• Аполлонийская прокладка

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Локсодромная последовательность Кокстера касательных кругов". MathWorld.
• Х. С. М. Кокстер - Теорема Декарта о круге и числа Фибоначчи