Вероятности контрактного моста - Contract bridge probabilities

В игре мост математические вероятности играют значительную роль. Различные стратегии игры оператора объявления приводят к успеху в зависимости от распределения карт оппонента. Чтобы решить, какая стратегия имеет наибольшую вероятность успеха, заявителю необходимо иметь хотя бы элементарное знание вероятностей.

В таблицах ниже указаны различные априорные вероятности, то есть вероятности при отсутствии какой-либо дополнительной информации. Во время торгов и игры становится доступной дополнительная информация о руках, что позволяет игрокам улучшить свои оценки вероятности.

Вероятность раздачи мастей в двух скрытых руках

Этот стол^[1] представляет различные способы, которыми могут быть распределены от двух до восьми определенных карт, или могут ложь или Трещина, между двумя неизвестными руками из 13 карт (до торги и играть в, или априори).

В таблице также показано количество комбинаций конкретных карт, которые соответствуют любому числовому разделению, и вероятности для каждой комбинации.

Эти вероятности прямо следуют из закона Вакантные места.

Число карт	Распределение	Вероятность	Комбинации	Физическое лицо Вероятность
2	1 - 1	0.52	2	0.26
2	2 - 0	0.48	2	0.24
3	2 - 1	0.78	6	0.13
3	3 - 0	0.22	2	0.11
4	2 - 2	0.41	6	0.0678~
	3 - 1	0.50	8	0.0622~
	4 - 0	0.10	2	0.0478~
5	3 - 2	0.68	20	0.0339~
	4 - 1	0.28	10	0.02826~
	5 - 0	0.04	2	0.01956~
6	3 - 3	0.36	20	0.01776~
	4 - 2	0.48	30	0.01615~
	5 - 1	0.15	12	0.01211~
	6 - 0	0.01	2	0.00745~
7	4 - 3	0.62	70	0.00888~
	5 - 2	0.31	42	0.00727~
	6 - 1	0.07	14	0.00484~
	7 - 0	0.01	2	0.00261~
8	4 - 4	0.33	70	0.00467~
	5 - 3	0.47	112	0.00421~
	6 - 2	0.17	56	0.00306~
	7 - 1	0.03	16	0.00178~
	8 - 0	0.00	2	0.00082~

Расчет вероятностей

Позволять ${displaystyle P '(a, b, n_ {e}, n_ {w})}$ быть вероятностью восточного игрока с ${displaystyle n_ {e}}$ неизвестные карты держат ${displaystyle a}$ карты в данной масти и западный игрок с ${displaystyle n_ {w}}$ неизвестные карты держат ${displaystyle b}$ карты данной масти. Общее количество аранжировок ${displaystyle (a + b)}$ карты в масти в ${displaystyle (n_ {e} + n_ {w})}$ пробелы ${displaystyle T = {frac {(n_ {e} + n_ {w})!} {(n_ {e} + n_ {w} -a-b)! (a + b)!}}}$ то есть количество перестановки из ${displaystyle (n_ {e} + n_ {w})}$ объекты, из которых карты в масти неотличимы, а карты не в масти неотличимы. Количество расположений которых соответствует Востоку, имеющему ${displaystyle a}$ карты в масти и запад ${displaystyle b}$ карты в масти даются ${displaystyle S = {frac {n_ {e}!} {a! (n_ {e} -a)!}} время {frac {n_ {w}!} {b! (n_ {w} -b)!} }}$ . Следовательно,

{displaystyle P '(a, b, n_ {e}, n_ {w}) = {frac {S} {T}} = {frac {(a + b)!} {a! b!}} imes {frac {n_ {e}! n_ {w}! (n_ {e} + n_ {w} -ab)!} {(n_ {e} + n_ {w})! (n_ {e} -a)! (n_ {w} -b)!}} = {inom {a + b} {a}} {frac {n_ {e}! n_ {w}! (n_ {e} + n_ {w} -ab)!} { (n_ {e} + n_ {w})! (n_ {e} -a)! (n_ {w} -b)!}} = {гидроразрыв {{inom {a + b} {a}} {inom { n_ {e} + n_ {w} -ab} {n_ {e} -a}}} {inom {n_ {e} + n_ {w}} {n_ {e}}}}}

Если направление раскола неважно (требуется только, чтобы раскол был

{displaystyle a}

-

{displaystyle b}

, не то чтобы Восток специально требовал

{displaystyle a}

карт), то общая вероятность определяется как

{displaystyle P (a, b, n_ {e}, n_ {w}) = P '(a, b, n_ {e}, n_ {w}) + (1-дельта _ {a, b}) P' (b, a, n_ {e}, n_ {w})}

где Дельта Кронекера гарантирует, что ситуация, когда Восток и Запад имеют одинаковое количество карт в масти, не учитываются дважды.

Приведенные выше вероятности предполагают ${displaystyle n_ {e} = n_ {w} = 13}$ и что направление раскола неважно, и поэтому даются

{displaystyle P (a, b) = P (a, b, 13,13) = {inom {a + b} {a}} {frac {13! 13! (26-ab)!} {26! (13 -a)! (13-b)!}} (2-дельта _ {a, b})}

Более общая формула может использоваться для расчета вероятности разрушения масти, если известно, что у игрока есть карты другой масти, например, из торги. Предположим, что известно, что у Востока есть 7 пиков из результатов торгов, и, увидев манекен, вы делаете вывод, что у Запада 2 пики; тогда, если ваши две линии игры рассчитаны на бубновые 5-3 или трефы 4-2, априори вероятности 47% и 48% соответственно, но

{displaystyle P (5,3,13-7,13-2) hickapprox 42 \%}

и

{displaystyle P (4,2,13-7,13-2) hickapprox 47 \%}

так что теперь клюшка значительно лучше ромбовидной.

Вероятность распространения HCP

Очки старших карт (HCP) обычно подсчитываются с использованием шкалы работы Милтона 4/3/2/1 очков для каждого туза / короля / королевы / валета соответственно. В априорные вероятности То, что данная рука содержит не более указанного количества HCP, указано в таблице ниже.^[1] Чтобы найти вероятность определенного диапазона точек, нужно просто вычесть две соответствующие совокупные вероятности. Таким образом, вероятность получения руки с 12-19 HCP (включая диапазоны) - это вероятность иметь не более 19 HCP минус вероятность иметь не более 11 HCP, или: 0,9855 - 0,6518 = 0,3337.^[2]

HCP	Вероятность	HCP	Вероятность	HCP	Вероятность	HCP	Вероятность	HCP	Вероятность
0	0.003639	8	0.374768	16	0.935520	24	0.999542	32	1.000000
1	0.011523	9	0.468331	17	0.959137	25	0.999806	33	1.000000
2	0.025085	10	0.562382	18	0.975187	26	0.999923	34	1.000000
3	0.049708	11	0.651828	19	0.985549	27	0.999972	35	1.000000
4	0.088163	12	0.732097	20	0.991985	28	0.999990	36	1.000000
5	0.140025	13	0.801240	21	0.995763	29	0.999997	37	1.000000
6	0.205565	14	0.858174	22	0.997864	30	0.999999
7	0.285846	15	0.902410	23	0.998983	31	1.000000

Вероятности паттернов рук

А узор руки обозначает распределение тринадцати карт в руке по четырем мастям. Всего возможно 39 комбинаций рук, но только 13 из них имеют априорная вероятность более 1%. Наиболее вероятной является комбинация 4-4-3-2, состоящая из двух мастей с четырьмя картами, масти с тремя картами и одной масти. даблтон.

Обратите внимание, что в схеме рук не указано, какие именно костюмы имеют указанную длину. Для шаблона 4-4-3-2 нужно указать, какая масть содержит три карты, а какая масть содержит дуплет, чтобы определить длину каждой из четырех мастей. Есть четыре возможности сначала определить масть из трех карт и три возможности затем определить дуплет. Следовательно, количество костюм перестановки паттерна 4-4-3-2 - двенадцать. Или, говоря иначе, всего существует двенадцать способов, которыми паттерн 4-4-3-2 может быть отображен на четыре масти.

В таблице ниже перечислены все 39 возможных комбинаций рук, их вероятность появления, а также количество перестановок мастей для каждой комбинации. Список упорядочен в соответствии с вероятностью появления рисунков рук.^[3]

Шаблон	Вероятность	#
4-4-3-2	0.21551	12
5-3-3-2	0.15517	12
5-4-3-1	0.12931	24
5-4-2-2	0.10580	12
4-3-3-3	0.10536	4
6-3-2-2	0.05642	12
6-4-2-1	0.04702	24
6-3-3-1	0.03448	12
5-5-2-1	0.03174	12
4-4-4-1	0.02993	4
7-3-2-1	0.01881	24
6-4-3-0	0.01326	24
5-4-4-0	0.01243	12

Шаблон	Вероятность	#
5-5-3-0	0.00895	12
6-5-1-1	0.00705	12
6-5-2-0	0.00651	24
7-2-2-2	0.00513	4
7-4-1-1	0.00392	12
7-4-2-0	0.00362	24
7-3-3-0	0.00265	12
8-2-2-1	0.00192	12
8-3-1-1	0.00118	12
7-5-1-0	0.00109	24
8-3-2-0	0.00109	24
6-6-1-0	0.00072	12
8-4-1-0	0.00045	24

Шаблон	Вероятность	#
9-2-1-1	0.00018	12
9-3-1-0	0.00010	24
9-2-2-0	0.000082	12
7-6-0-0	0.000056	12
8-5-0-0	0.000031	12
10-2-1-0	0.000011	24
9-4-0-0	0.0000097	12
10-1-1-1	0.0000040	4
10-3-0-0	0.0000015	12
11-1-1-0	0.00000025	12
11-2-0-0	0.00000011	12
12-1-0-0	0.0000000032	12
13-0-0-0	0.0000000000063	4

39 комбинаций рук можно разделить на четыре типы рук: сбалансированные руки, тройки, два жениха и одинокие искатели. В таблице ниже приведены априори вероятность получить определенный тип руки.

Тип руки	Узоры	Вероятность
Сбалансированный	4-3-3-3, 4-4-3-2, 5-3-3-2	0.4761
Два костюма	5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-5-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-6-0-0	0.2902
Одноместный	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.1915
Тройка	4-4-4-1, 5-4-4-0	0.0423

Альтернативное группирование 39 комбинаций рук может быть выполнено как по самой длинной масти, так и по самой короткой масти. В таблицах ниже приведены априори шанс получить руку с самой длинной или самой короткой мастью данной длины.

Самый длинный костюм	Узоры	Вероятность
4 карты	4-3-3-3, 4-4-3-2, 4-4-4-1	0.3508
5 карт	5-3-3-2, 5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-4-4-0, 5-5-3-0	0.4434
6 карт	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6-6-1-0	0.1655
7 карт	7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0	0.0353
8 карт	8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0	0.0047
9 карта	9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0	0.00037
10 карт	10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0	0.000017
11 карта	11-1-1-0, 11-2-0-0	0.0000003
12 карт	12-1-0-0	0.000000003
13 карт	13-0-0-0	0.000000000006

Самый короткий костюм	Узоры	Вероятность
Три карты	4-3-3-3	0.1054
Даблтон	4-4-3-2, 5-3-3-2, 5-4-2-2, 6-3-2-2, 7-2-2-2	0.5380
Синглтон	4-4-4-1, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-5-1-1, 7-3-2-1, 7-4-1-1, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 9-2-1-1, 10-1-1-1	0.3055
Пустота	5-4-4-0, 5-5-3-0, 6-4-3-0, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-3-3-0, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.0512

Количество возможных рук и сделок

Всего 635 013 559 600 ( ${displaystyle 52! / (13!)}$ ) разные руки, которые может держать один игрок.^[4] Кроме того, когда остальные 39 карт включены во все их комбинации, получается 53 644 737 765 488 792 839 237 440000 (5,36 x 10²⁸) возможны разные сделки ( ${displaystyle 52! / (13!) ^ {4}}$ ) ^[5] Огромность этого числа можно понять, ответив на вопрос "Насколько большой площади вам потребуется для распространения всех возможных мостовых сделок, если каждая сделка будет занимать только один квадратный миллиметр?". Ответ: площадь более чем в сто миллионов раз больше площадь поверхности земной шар.

Очевидно, что сделки, которые идентичны, за исключением обмена, скажем, ♥2 и ♥3 вряд ли даст другой результат. Чтобы показать неуместность маленьких карточек (что не всегда так), в бриджах такие маленькие карточки обычно обозначаются буквой «x». Таким образом, «количество возможных раздач» в этом смысле зависит от того, сколько нечестных карт (2, 3, .. 9) считаются «неотличимыми». Например, если обозначение «x» применяется ко всем картам меньше десяти, то распределения мастей A987-K106-Q54-J32 и A432-K105-Q76-J98 будут считаться идентичными.

Таблица ниже ^[6] дает количество сделок, когда различное количество маленьких карточек считается неразличимым.

Состав костюма	Количество сделок
AKQJT9876543x	53,644,737,765,488,792,839,237,440,000
AKQJT987654xx	7,811,544,503,918,790,990,995,915,520
AKQJT98765xxx	445,905,120,201,773,774,566,940,160
AKQJT9876xxxx	14,369,217,850,047,151,709,620,800
AKQJT987xxxxx	314,174,475,847,313,213,527,680
AKQJT98xxxxxx	5,197,480,921,767,366,548,160
AKQJT9xxxxxxx	69,848,690,581,204,198,656
AKQJTxxxxxxxx	800,827,437,699,287,808
AKQJxxxxxxxxx	8,110,864,720,503,360
AKQxxxxxxxxxx	74,424,657,938,928
AKxxxxxxxxxxx	630,343,600,320
Axxxxxxxxxxxx	4,997,094,488
xxxxxxxxxxxxx	37,478,624

Обратите внимание, что последняя запись в таблице (37 478 624) соответствует количеству различных распределений колоды (количеству раздач, когда карты различаются только по масти).

Вероятность проигрыша уловок.

В Количество проигрышных уловок является альтернативой подсчету HCP как методу оценки рук.

LTC	Количество рук	Вероятность
0	4,245,032	0.000668%
1	90,206,044	0.0142%
2	872,361,936	0.137%
3	5,080,948,428	0.8%
4	19,749,204,780	3.11%
5	53,704,810,560	8.46%
6	104,416,332,340	16.4%
7	145,971,648,360	23.0%
8	145,394,132,760	22.9%
9	100,454,895,360	15.8%
10	45,618,822,000	7.18%
11	12,204,432,000	1.92%
12	1,451,520,000	0.229%
13	0	0%

дальнейшее чтение

Эмиль, Борель; Андре, Шерон (1940). Теория Математик дю Бридж. Готье-Виллар. Второе французское издание авторов в 1954 году. Переведено и отредактировано на английский Алеком Траубом как The Mathematical Theory of Bridge; напечатано в 1974 году на Тайване при содействии C.C. Вэй.
Келси, Хью; Глауэрт, Майкл (1980). Коэффициенты бриджа для практичных игроков. Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. ISBN 0-575-02799-1.
Риз, Теренс; Трезель, Роджер (1986). Преодолейте шансы в бридже. Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. ISBN 0-575-02597-2.

[OEB-1] а ^б «Математические таблицы» (Таблица 4). Фрэнсис, Генри Дж .; Траскотт, Алан Ф.; Фрэнсис, Дорти А., ред. (1994). Официальная энциклопедия моста (5-е изд.). Мемфис, Теннесси: Американская контрактная лига. п. 278. ISBN 0-943855-48-9. LCCN 96188639.

[2] Ричард Павличек. «Высокая вероятность карты». ссылка на сайт

[Pavlicek1-3] Ричард Павличек. «Вопреки всему». ссылка на сайт

[4] Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 1

[5] Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 2

[6] Подсчет сделок на мосту, Йерун Вармердам

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]