Построение t-норм - Construction of t-norms

В математике t-нормы представляют собой особый вид бинарных операций над вещественным единичным интервалом [0, 1]. Разные конструкции t-нормлибо явным определением, либо преобразованием из ранее известных функций, предоставляют множество примеров и классов t-норм. Это важно, например, для поиска контрпримеры или предоставление t-норм с особыми свойствами для использования в инженерных приложениях нечеткая логика. Основные способы построения t-норм включают использование генераторы, определяя параметрические классы t-норм, вращения, или же порядковые суммы т-норм.

Соответствующую предысторию можно найти в статье о t-нормы.

Генераторы т-норм

Метод построения t-норм по образующим заключается в использовании унарной функции (генератор) для преобразования некоторой известной двоичной функции (чаще всего сложения или умножения) в t-норму.

Чтобы разрешить использование небиективных генераторов, у которых нет обратная функция, следующее понятие псевдообратная функция Используется:

Позволять ж: [а, б] → [c, d] - монотонная функция между двумя замкнутыми отрезками расширенная реальная линия. В псевдообратная функция к ж это функция ж ⁽⁻¹⁾: [c, d] → [а, б] определяется как

${displaystyle f^{(-1)}(y)={egin{cases}sup{xin [a,b]mid f(x)<y}&{ ext{for }}f{ ext{ non-decreasing}}sup{xin [a,b]mid f(x)>y}&{ ext{for }}f{ ext{ non-increasing.}}end{cases}}}$

Генераторы аддитивов

Построение t-норм с помощью аддитивных образующих основано на следующей теореме:

Позволять ж: [0, 1] → [0, + ∞] - строго убывающая функция такая, что ж(1) = 0 и ж(Икс) + ж(у) находится в диапазоне ж или равно ж(0⁺) или + ∞ для всех Икс, у в [0, 1]. Тогда функция Т: [0, 1]² → [0, 1] определяется как

Т(Икс, у) = ж ^(-1)(ж(Икс) + ж(у))

является t-нормой.

В качестве альтернативы можно избежать использования понятия псевдообратной функции, если ${displaystyle T(x,y)=f^{-1}left(min left(f(0^{+}),f(x)+f(y)ight)ight)}$. Тогда соответствующий остаток можно выразить как ${displaystyle (xRightarrow y)=f^{-1}left(max left(0,f(y)-f(x)ight)ight)}$. И бирезидуум как ${displaystyle (xLeftrightarrow y)=f^{-1}left(left|f(x)-f(y)ight|ight)}$.

Если t-норма Т следует из последней конструкции функцией ж которое непрерывно справа в 0, то ж называется аддитивный генератор из Т.

Примеры:

• Функция ж(Икс) = 1 – Икс за Икс в [0, 1] - аддитивный генератор t-нормы Лукасевича.
• Функция ж определяется как ж(Икс) = –Log (Икс) если 0 < Икс ≤ 1 и ж(0) = + ∞ - аддитивный генератор t-нормы произведения.
• Функция ж определяется как ж(Икс) = 2 – Икс если 0 ≤ Икс <1 и ж(1) = 0 - аддитивный генератор резкой t-нормы.

Основные свойства аддитивных генераторов резюмируются следующей теоремой:

Позволять ж: [0, 1] → [0, + ∞] - аддитивный генератор t-нормы Т. Потом:

• Т является архимедовой t-нормой.
• Т непрерывно тогда и только тогда, когда ж непрерывно.
• Т строго монотонно тогда и только тогда, когда ж(0) = +∞.
• Каждый элемент (0, 1) является нильпотентным элементом Т тогда и только тогда, когда f (0) <+ ∞.
• Множество ж положительной константой также является аддитивным генератором Т.
• Т нет нетривиальных идемпотентов. (Следовательно, например, минимальная t-норма не имеет аддитивного генератора.)

Мультипликативные генераторы

Изоморфизм между сложением на [0, + ∞] и умножением на [0, 1] на логарифм и экспоненциальную функцию допускает двусторонние преобразования между аддитивными и мультипликативными генераторами t-нормы. Если ж аддитивный генератор t-нормы Т, то функция час: [0, 1] → [0, 1] определяется как час(Икс) = е^{−ж (Икс)} это мультипликативный генератор из Т, то есть функция час такой, что

• час строго увеличивается
• час(1) = 1
• час(Икс) · час(у) находится в диапазоне час или равно 0 или час(0+) для всех Икс, у в [0, 1]
• час непрерывна справа в 0
• Т(Икс, у) = час ⁽⁻¹⁾(час(Икс) · час(у)).

И наоборот, если час является мультипликативным генератором Т, тогда ж: [0, 1] → [0, + ∞] определено ж(Икс) = −log (час(x)) - аддитивный генератор Т.

Параметрические классы t-норм

Многие семейства связанных t-норм могут быть определены явной формулой в зависимости от параметра п. В этом разделе перечислены наиболее известные параметризованные семейства t-норм. В списке будут использованы следующие определения:

• Семейство t-норм Т_п параметризованный п является увеличение если Т_п(Икс, у) ≤ Т_q(Икс, у) для всех Икс, у в [0, 1] всякий раз, когда п ≤ q (аналогично для уменьшение и строго увеличение или уменьшение).
• Семейство t-норм Т_п является непрерывный по параметру п если

${displaystyle lim _{p o p_{0}}T_{p}=T_{p_{0}}}$

для всех значений п₀ параметра.

T-нормы Швейцера – Склара

График (3D и контуры) t-нормы Швейцера – Склара с п = 2

Семья T-нормы Швейцера – Склара, представленный Бертольдом Швейцером и Эйб Скляр в начале 1960-х дается параметрическим определением

${displaystyle T_{p}^{mathrm {SS} }(x,y)={egin{cases}T_{min }(x,y)&{ ext{if }}p=-infty (x^{p}+y^{p}-1)^{1/p}&{ ext{if }}-infty <p<0T_{mathrm {prod} }(x,y)&{ ext{if }}p=0(max(0,x^{p}+y^{p}-1))^{1/p}&{ ext{if }}0<p<+infty T_{mathrm {D} }(x,y)&{ ext{if }}p=+infty .end{cases}}}$

T-норма Швейцера – Склара ${displaystyle T_{p}^{mathrm {SS} }}$ является

• Архимедово тогда и только тогда, когда п > −∞
• Непрерывно тогда и только тогда, когда п < +∞
• Строгий тогда и только тогда, когда −∞ < п ≤ 0 (для п = −1 это произведение Хамахера)
• Нильпотентен тогда и только тогда, когда 0 < п <+ ∞ (для п = 1 это t-норма Лукасевича).

Семья строго убывает за п ≥ 0 и непрерывна относительно п в [−∞, + ∞]. Генератор аддитивов для ${displaystyle T_{p}^{mathrm {SS} }}$ для −∞ < п <+ ∞ является

${displaystyle f_{p}^{mathrm {SS} }(x)={egin{cases}-log x&{ ext{if }}p=0{frac {1-x^{p}}{p}}&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

Т-нормы Hamacher

Семья Т-нормы Hamacher, введенный Хорстом Хамахером в конце 1970-х годов, задается следующим параметрическим определением для 0 ≤ п ≤ +∞:

${displaystyle T_{p}^{mathrm {H} }(x,y)={egin{cases}T_{mathrm {D} }(x,y)&{ ext{if }}p=+infty �&{ ext{if }}p=x=y=0{frac {xy}{p+(1-p)(x+y-xy)}}&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

T-норма ${displaystyle T_{0}^{mathrm {H} }}$ называется Продукт Hamacher.

T-нормы Хамахера - единственные t-нормы, которые являются рациональными функциями. ${displaystyle T_{p}^{mathrm {H} }}$ строго тогда и только тогда, когда п <+ ∞ (для п = 1 это t-норма произведения). Семья строго убывает и непрерывна по п. Аддитивный генератор ${displaystyle T_{p}^{mathrm {H} }}$ за п <+ ∞ является

${displaystyle f_{p}^{mathrm {H} }(x)={egin{cases}{frac {1-x}{x}}&{ ext{if }}p=0log {frac {p+(1-p)x}{x}}&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

Франк т-нормы

Семья Франк т-нормы, введенный М.Дж. Франком в конце 1970-х годов, задается параметрическим определением для 0 ≤ п ≤ + ∞ следующим образом:

${displaystyle T_{p}^{mathrm {F} }(x,y)={egin{cases}T_{mathrm {min} }(x,y)&{ ext{if }}p=0T_{mathrm {prod} }(x,y)&{ ext{if }}p=1T_{mathrm {Luk} }(x,y)&{ ext{if }}p=+infty log _{p}left(1+{frac {(p^{x}-1)(p^{y}-1)}{p-1}}ight)&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

Т-норма Франка ${displaystyle T_{p}^{mathrm {F} }}$ строго, если п <+ ∞. Семья строго убывающая и непрерывная относительно п. Генератор аддитивов для ${displaystyle T_{p}^{mathrm {F} }}$ является

${displaystyle f_{p}^{mathrm {F} }(x)={egin{cases}-log x&{ ext{if }}p=11-x&{ ext{if }}p=+infty log {frac {p-1}{p^{x}-1}}&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

Ягер т-нормы

График t-нормы Ягера с п = 2

Семья Ягер т-нормы, представленный в начале 1980-х годов Рональд Р. Ягер, дается при 0 ≤ п ≤ + ∞ на

${displaystyle T_{p}^{mathrm {Y} }(x,y)={egin{cases}T_{mathrm {D} }(x,y)&{ ext{if }}p=0max left(0,1-((1-x)^{p}+(1-y)^{p})^{1/p}ight)&{ ext{if }}0<p<+infty T_{mathrm {min} }(x,y)&{ ext{if }}p=+infty end{cases}}}$

T-норма Ягера ${displaystyle T_{p}^{mathrm {Y} }}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда 0 < п <+ ∞ (для п = 1 это t-норма Лукасевича). Семья строго увеличивается и непрерывна по отношению к п. T-норма Ягера ${displaystyle T_{p}^{mathrm {Y} }}$ для 0 < п <+ ∞ возникает из t-нормы Лукасевича при возведении ее аддитивного генератора в степень п. Аддитивный генератор ${displaystyle T_{p}^{mathrm {Y} }}$ для 0 < п <+ ∞ является

${displaystyle f_{p}^{mathrm {Y} }(x)=(1-x)^{p}.}$

Т-нормы Акзеля – Альсины

Семья Т-нормы Акзеля – Альсины, введенный в начале 1980-х Яношом Акзелем и Клауди Альсиной, дается для 0 ≤ п ≤ + ∞ на

${displaystyle T_{p}^{mathrm {AA} }(x,y)={egin{cases}T_{mathrm {D} }(x,y)&{ ext{if }}p=0e^{-left(|log x|^{p}+|log y|^{p}ight)^{1/p}}&{ ext{if }}0<p<+infty T_{mathrm {min} }(x,y)&{ ext{if }}p=+infty end{cases}}}$

T-норма Акзеля – Альсины ${displaystyle T_{p}^{mathrm {AA} }}$ строго тогда и только тогда, когда 0 < п <+ ∞ (для п = 1 это t-норма произведения). Семья строго увеличивается и непрерывна по отношению к п. T-норма Акзеля – Альсины ${displaystyle T_{p}^{mathrm {AA} }}$ для 0 < п <+ ∞ возникает из t-нормы произведения при возведении его аддитивного генератора в степень п. Аддитивный генератор ${displaystyle T_{p}^{mathrm {AA} }}$ для 0 < п <+ ∞ является

${displaystyle f_{p}^{mathrm {AA} }(x)=(-log x)^{p}.}$

Домби т-нормы

Семья Домби т-нормы, введенный Йожефом Домби (1982), дан для 0 ≤ п ≤ + ∞ на

${displaystyle T_{p}^{mathrm {D} }(x,y)={egin{cases}0&{ ext{if }}x=0{ ext{ or }}y=0T_{mathrm {D} }(x,y)&{ ext{if }}p=0T_{mathrm {min} }(x,y)&{ ext{if }}p=+infty {frac {1}{1+left(left({frac {1-x}{x}}ight)^{p}+left({frac {1-y}{y}}ight)^{p}ight)^{1/p}}}&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

T-норма Домби ${displaystyle T_{p}^{mathrm {D} }}$ строго тогда и только тогда, когда 0 < п <+ ∞ (для п = 1 это произведение Хамахера). Семья строго увеличивается и непрерывна по отношению к п. T-норма Домби ${displaystyle T_{p}^{mathrm {D} }}$ для 0 < п <+ ∞ возникает из t-нормы произведения Хамахера при возведении его аддитивного генератора в степень п. Аддитивный генератор ${displaystyle T_{p}^{mathrm {D} }}$ для 0 < п <+ ∞ является

${displaystyle f_{p}^{mathrm {D} }(x)=left({frac {1-x}{x}}ight)^{p}.}$

T-нормы Сугено – Вебера

Семья T-нормы Сугено – Вебера был представлен в начале 1980-х Зигфридом Вебером; двойной т-конормы были определены еще в начале 1970-х годов Мичио Сугено. Дано для −1 ≤ п ≤ + ∞ на

${displaystyle T_{p}^{mathrm {SW} }(x,y)={egin{cases}T_{mathrm {D} }(x,y)&{ ext{if }}p=-1max left(0,{frac {x+y-1+pxy}{1+p}}ight)&{ ext{if }}-1<p<+infty T_{mathrm {prod} }(x,y)&{ ext{if }}p=+infty end{cases}}}$

T-норма Сугено – Вебера ${displaystyle T_{p}^{mathrm {SW} }}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда −1 < п <+ ∞ (для п = 0 это t-норма Лукасевича). Семья строго увеличивается и непрерывна по отношению к п. Аддитивный генератор ${displaystyle T_{p}^{mathrm {SW} }}$ для 0 < п <+ ∞ [sic] - это

${displaystyle f_{p}^{mathrm {SW} }(x)={egin{cases}1-x&{ ext{if }}p=01-log _{1+p}(1+px)&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

Порядковые суммы

В порядковая сумма строит t-норму из семейства t-норм, сжимая их на непересекающиеся подынтервалы интервала [0, 1] и дополняя t-норму, используя минимум на остальной части единичного квадрата. Он основан на следующей теореме:

Позволять Т_я за я в индексном наборе я - семейство t-норм и (а_я, б_я) семейство попарно непересекающихся (непустых) открытых подынтервалов отрезка [0, 1]. Тогда функция Т: [0, 1]² → [0, 1] определяется как

${displaystyle T(x,y)={egin{cases}a_{i}+(b_{i}-a_{i})cdot T_{i}left({frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}ight)&{ ext{if }}x,yin [a_{i},b_{i}]^{2}min(x,y)&{ ext{otherwise}}end{cases}}}$

является t-нормой.

Порядковая сумма t-нормы Лукасевича на интервале [0,05, 0,45] и произведения t-нормы на интервале [0,55, 0,95]

Полученная t-норма называется порядковая сумма слагаемых (Т_я, а_я, б_я) за я в я, обозначаемый

${displaystyle T=igoplus olimits _{iin I}(T_{i},a_{i},b_{i}),}$

или же ${displaystyle (T_{1},a_{1},b_{1})oplus dots oplus (T_{n},a_{n},b_{n})}$ если я конечно.

Порядковые суммы t-норм обладают следующими свойствами:

• Каждая t-норма есть тривиальная порядковая сумма самой себя на всем интервале [0, 1].
• Пустая порядковая сумма (для пустого набора индексов) дает минимальную t-норму Т_мин. Слагаемые с минимальной t-нормой можно произвольно добавлять или опускать без изменения результирующей t-нормы.
• Без ограничения общности можно предположить, что набор индексов счетный, поскольку реальная линия может содержать не более чем счетное число непересекающихся подынтервалов.
• Порядковая сумма t-нормы непрерывна тогда и только тогда, когда каждое слагаемое является непрерывной t-нормой. (Аналогично для левой непрерывности.)
• Порядковая сумма является архимедовой тогда и только тогда, когда она является тривиальной суммой одной архимедовой t-нормы на всем единичном интервале.
• Порядковая сумма имеет делители нуля тогда и только тогда, когда для некоторого индекса я, а_я = 0 и Т_я имеет делители нуля. (Аналогично для нильпотентных элементов.)

Если ${displaystyle T=igoplus olimits _{iin I}(T_{i},a_{i},b_{i})}$ является непрерывной слева t-нормой, то ее вычет р дается следующим образом:

${displaystyle R(x,y)={egin{cases}1&{ ext{if }}xleq ya_{i}+(b_{i}-a_{i})cdot R_{i}left({frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}ight)&{ ext{if }}a_{i}<y<xleq b_{i}y&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

куда р_я это остаток Т_я, для каждого я в я.

Порядковые суммы непрерывных t-норм

Порядковая сумма семейства непрерывных t-норм является непрерывной t-нормой. По теореме Мостерта – Шилдса каждая непрерывная t-норма выражается в виде порядковой суммы архимедовых непрерывных t-норм. Поскольку последние либо нильпотентны (и затем изоморфны t-норме Лукасевича), либо строгие (тогда изоморфны t-норме произведения), каждая непрерывная t-норма изоморфна порядковой сумме t-нормы Лукасевича и t-нормы произведения.

Важными примерами порядковых сумм непрерывных t-норм являются следующие:

• T-нормы Дюбуа – Прад, представлен Дидье Дюбуа и Анри Прад в начале 1980-х, являются порядковыми суммами t-нормы произведения на [0,п] для параметра п в [0, 1] и (по умолчанию) минимальная t-норма на остальной части единичного интервала. Семейство t-норм Дюбуа – Прад убывает и непрерывно относительно п..
• T-нормы Мэра – Торренса, введенные Гаспаром Мэром и Джоан Торренс в начале 1990-х годов, представляют собой порядковые суммы t-нормы Лукасевича на [0,п] для параметра п в [0, 1] и (по умолчанию) минимальная t-норма на остальной части единичного интервала. Семейство t-норм Майора – Торренса убывает и непрерывно относительно п..

Вращения

Построение t-норм вращением было введено Шандором Йенеем (2000). Он основан на следующей теореме:

Позволять Т - непрерывная слева t-норма без делители нуля, N: [0, 1] → [0, 1] функция, которая присваивает 1 - Икс к Икс и т = 0,5. Позволять Т₁ - линейное преобразование Т в [т, 1] и ${displaystyle R_{T_{1}}(x,y)=sup{zmid T_{1}(z,x)leq y}.}$ Тогда функция

${displaystyle T_{mathrm {rot} }={egin{cases}T_{1}(x,y)&{ ext{if }}x,yin (t,1]N(R_{T_{1}}(x,N(y)))&{ ext{if }}xin (t,1]{ ext{ and }}yin [0,t]N(R_{T_{1}}(y,N(x)))&{ ext{if }}xin [0,t]{ ext{ and }}yin (t,1]�&{ ext{if }}x,yin [0,t]end{cases}}}$

является непрерывной слева t-нормой, называемой вращение t-нормы Т.

В нильпотентный минимум как вращение минимум t-норма

Геометрически конструкция может быть описана как сначала сокращение t-нормы Т на отрезок [0.5, 1], а затем повернув его на угол 2π / 3 в обоих направлениях вокруг линии, соединяющей точки (0, 0, 1) и (1, 1, 0).

Вращения Лукасевич, товар, нильпотентный минимум, и резкий t-норма

Теорема может быть обобщена, взяв за N любой сильное отрицание, то есть инволютивный строго убывающая непрерывная функция на [0, 1], а при т принимая уникальный фиксированная точка изN.

Полученная t-норма удовлетворяет следующему инвариантность вращения собственность в отношенииN:

Т(Икс, у) ≤ z если и только если Т(у, N(z)) ≤ N(Икс) для всех Икс, у, z в [0, 1].

Отрицание, вызванное Т_гнить это функция N, то есть, N(Икс) = р_гнить(Икс, 0) для всех Икс, куда р_гнить это остатокТ_гнить.

Смотрите также

• Т-норма
• Нечеткие логики T-нормы

Рекомендации

• Клемент, Эрих Петер; Месияр, Радько; и Пап, Эндре (2000), Треугольные нормы. Дордрехт: Клувер. ISBN  0-7923-6416-3.
• Фодор, Янош (2004), «Непрерывные слева t-нормы в нечеткой логике: обзор». Acta Polytechnica Hungarica 1(2), ISSN 1785-8860 [1]
• Домби, Йожеф (1982), «Общий класс нечетких операторов, класс ДеМоргана нечетких операторов и мер нечеткости, индуцированных нечеткими операторами». Нечеткие множества и системы 8, 149–163.
• Jenei, Sándor (2000), "Структура непрерывных слева t-норм с сильными индуцированными отрицаниями. (I) Конструкция вращения". Журнал прикладной неклассической логики 10, 83–92.
• Навара, Мирко (2007), «Треугольные нормы и конормы», Scholarpedia [2].