Согласованные и несогласованные уравнения - Consistent and inconsistent equations

В математика и особенно в алгебра, а линейный или же нелинейный система уравнений называется последовательный если существует хотя бы один набор значений неизвестных, который удовлетворяет каждому уравнению в системе, то есть когда заменен в каждое из уравнений, они делают каждое уравнение справедливым как личность. Напротив, линейная или нелинейная система уравнений называется непоследовательный если нет набора значений для неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям.

Если система уравнений несовместима, то можно манипулировать и комбинировать уравнения таким образом, чтобы получить противоречивую информацию, например, 2 = 1 или Икс³ + у³ = 5 и Икс³ + у³ = 6 (что означает 5 = 6).

Оба типа систем уравнений, непротиворечивые и непоследовательные, могут быть любыми из сверхопределенный (имея больше уравнений, чем неизвестных), недоопределенный (имеющая меньше уравнений, чем неизвестных), или точно определенная.

Простые примеры

Недоопределенный и последовательный

Система

${\displaystyle x+y+z=3,}$

${\displaystyle x+y+2z=4}$

имеет бесконечное количество решений, все они имеют z = 1 (как можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго), и все они, следовательно, имеют х + у = 2 для любых значений Икс и у.

Нелинейная система

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=10,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=5}$

имеет бесконечное множество решений, все с участием ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Поскольку каждая из этих систем имеет более одного решения, это неопределенная система.

Недоопределенный и непоследовательный

Система

${\displaystyle x+y+z=3,}$

${\displaystyle x+y+z=4}$

не имеет решений, что можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго, чтобы получить невозможное 0 = 1.

Нелинейная система

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=17,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=14}$

не имеет решений, потому что, если вычесть одно уравнение из другого, мы получим невозможное 0 = 3.

Точно решительный и последовательный

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=5}$

имеет ровно одно решение: Икс = 1, у = 2.

Нелинейная система

${\displaystyle x+y=1,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

имеет два решения (х, у) = (1, 0) и (х, у) = (0, 1), а

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\displaystyle x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\displaystyle 3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=34}$

имеет бесконечное количество решений, потому что третье уравнение - это первое уравнение плюс дважды второе и, следовательно, не содержит независимой информации; таким образом, любое значение z могут быть выбраны и значения Икс и у можно найти, чтобы удовлетворить первые два (и, следовательно, третье) уравнения.

Точно определенный и непоследовательный

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle 4x+4y=10}$

не имеет решений; несоответствие можно увидеть, умножив первое уравнение на 4 и вычтя второе уравнение, чтобы получить невозможное 0 = 2.

Так же,

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\displaystyle x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\displaystyle 3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=32}$

является несовместной системой, потому что первое уравнение плюс дважды второе минус третье содержит противоречие 0 = 2.

Сверхдетерминированный и последовательный

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\displaystyle 4x+6y=20}$

есть решение, Икс = –1, у = 4, потому что первые два уравнения не противоречат друг другу, а третье уравнение является избыточным (поскольку оно содержит ту же информацию, которая может быть получена из первых двух уравнений путем умножения каждого на 2 и их суммирования).

Система

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\displaystyle 3x+6y=21,}$

${\displaystyle 7x+14y=49}$

имеет бесконечное количество решений, так как все три уравнения дают ту же информацию, что и друг друга (что можно увидеть, умножив первое уравнение на 3 или 7). Любое значение у является частью решения, с соответствующим значением Икс будучи 7–2лет.

Нелинейная система

${\displaystyle x^{2}-1=0,}$

${\displaystyle y^{2}-1=0,}$

${\displaystyle (x-1)(y-1)=0}$

имеет три решения (х, у) = (1, –1), (–1, 1) и (1, 1).

Сверхдетерминированный и непоследовательный

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\displaystyle 4x+6y=21}$

непоследовательно, потому что последнее уравнение противоречит информации, заложенной в первых двух, как видно, умножая каждое из первых двух на 2 и суммируя их.

Система

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$

${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=2,}$

${\displaystyle 2x^{2}+3y^{2}=4}$

несовместно, поскольку сумма первых двух уравнений противоречит третьему.

Критерии согласованности

Как видно из приведенных выше примеров, непротиворечивость и непротиворечивость - это совсем другой вопрос, нежели сравнение количества уравнений и неизвестных.

Линейные системы

Основная статья: Система линейных уравнений § Согласованность

Линейная система непротиворечива если и только если это матрица коэффициентов имеет то же самое классифицировать как и его расширенная матрица (матрица коэффициентов с добавленным дополнительным столбцом, который является вектор столбца констант).

Нелинейные системы

Основная статья: Система полиномиальных уравнений § Что решает?