Идеальная конгруэнтность - Congruence ideal

В алгебра, то идеальная конгруэнтность из сюръективный кольцевой гомоморфизм ж : B → C из коммутативные кольца это изображение под ж из аннигилятор из ядро изж.

Это называется идеалом конгруэнтности, потому что когда B является алгеброй Гекке и ж является гомоморфизмом, соответствующим модулярной форме, идеал конгруэнции описывает конгруэнции между модулярной формой ж и другие модульные формы.

Пример

• Предполагать C и D кольца с гомоморфизмами в кольцо E, и разреши B = C×_ED быть откатом, заданным подкольцом C×D пар (c,d) куда c и d иметь такое же изображение в E. Если ж это естественная проекция из B к C, то ядро ​​является идеальным J элементов (0,d) куда d есть изображение 0 в E. Если J имеет аннигилятор 0 в D, то его аннигилятор в B это просто ядро я карты из C к E. Итак, идеал конгруэнтности ж это идеал (я, 0) из B.
• Предположим, что B это Алгебра Гекке создано Операторы Гекке Т_п действующее на 2-мерное пространство модулярных форм уровня 1 и веса 12. Это пространство 2-мерное, натянутое на собственные формы, заданные Серия Эйзенштейна E₁₂ и модульный дискриминант Δ. Карта с оператором Гекке Т_п своим собственным значениям (σ₁₁(п), τ (n)) дает гомоморфизм из B в кольцо Z×Z (где τ - Рамануджан тау функция и σ₁₁(п) - сумма 11-й степени делителей п). Изображение представляет собой набор пар (c,d) с c и d congruent mod 619 из-за сравнения Рамануджана σ₁₁(п) ≡ τ (n) mod 691. Если ж гомоморфизм, принимающий (c,d) к c в Z, то идеалом сравнения является (691). Таким образом, идеал конгруэнтности описывает конгруэнции между формами E₁₂ и Δ.

Рекомендации

• Ленстра, Х. В. (1995), "Полные пересечения и кольца Горенштейна", в Коутс, Джон (ред.), Эллиптические кривые, модулярные формы и последняя теорема Ферма (Гонконг, 1993), Сер. Теория чисел, I, Int. Press, Cambridge, MA, pp. 99–109, ISBN  1-57146-026-8, МИСТЕР  1363497, Zbl  0860.13012