Коммутативная магма - Commutative magma

В математика, существуют магмы которые коммутативный но нет ассоциативный. Простой пример такой магмы может быть получен из детской игры в камень ножницы Бумага. Такие магмы дают начало неассоциативные алгебры.

Коммутативная неассоциативная магма, полученная из игры "камень, ножницы, бумага"

Позволять ${displaystyle M:={r,p,s}}$ , обозначающие жесты "камень", "бумага" и "ножницы" соответственно, и рассмотрим бинарная операция ${displaystyle cdot :M imes M o M}$ вытекает из правил игры следующим образом:

Для всех ${displaystyle x,yin M}$:

• Если ${displaystyle xeq y}$ и ${displaystyle x}$ удары ${displaystyle y}$ в игре, то ${displaystyle xcdot y=ycdot x=x}$
• ${displaystyle xcdot x=x}$ Т.е. каждый ${displaystyle x}$ является идемпотент.

Так что например:

• ${displaystyle rcdot p=pcdot r=p}$ «бумага бьет камень»;
• ${displaystyle scdot s=s}$ "ножницы завяжите ножницами".

Это приводит к Стол Кэли:

${displaystyle {egin{array}{c|ccc}cdot &r&p&shline r&r&p&rp&p&p&ss&r&s&send{array}}}$

По определению магма ${displaystyle (M,cdot )}$ коммутативен, но также не ассоциативен, как показано:

${displaystyle rcdot (pcdot s)=rcdot s=r}$

но

${displaystyle (rcdot p)cdot s=pcdot s=s}$

т.е.

${displaystyle rcdot (pcdot s)eq (rcdot p)cdot s}$

Другие примеры

"иметь в виду "операция ${displaystyle xoplus y=(x+y)/2}$ на рациональное число (или любая замкнутая коммутативная система счисления) также коммутативна, но не в общем ассоциативна, например

${displaystyle -4oplus (0oplus +4)=-4oplus +2=-1}$

но

${displaystyle (-4oplus 0)oplus +4=-2oplus +4=+1}$

Как правило, означает операции изучаемые в топологии не обязательно должны быть ассоциативными.

Конструкция, примененная в предыдущем разделе к «камень-ножницы-бумага», легко применима к вариантам игры с другим количеством жестов, как описано в разделе Вариации, пока есть два игрока и условия между ними симметричны; более абстрактно, это может быть применено к любому трихотомический бинарное отношение (как "биты" в игре). Результирующая магма будет ассоциативной, если отношение транзитивно и, следовательно, является (строгим) общий заказ; в противном случае, если он конечен, он содержит направленные циклы (например, камень-ножницы-бумага-камень), и магма не ассоциативна. Чтобы увидеть последнее, рассмотрите возможность объединения всех элементов в цикле в обратном порядке, то есть так, чтобы каждый объединенный элемент превосходил предыдущий; результатом является последний объединенный элемент, в то время как ассоциативность и коммутативность будут означать, что результат зависит только от набора элементов в цикле.

Нижний ряд в Диаграмма Карно выше приведены дополнительные примеры операций, определенных на целые числа (или любой коммутативное кольцо ).

Производные коммутативные неассоциативные алгебры

Используя пример камень-ножницы-бумага, можно построить коммутативный неассоциативный алгебра над полем ${displaystyle K}$: брать ${displaystyle A}$ быть трехмерным векторное пространство над ${displaystyle K}$ элементы которого записываются в виде

${displaystyle (x,y,z)=xr+yp+zs,}$

за ${displaystyle x,y,zin K}$. Сложение векторов и скалярное умножение определены составная часть -в смысле, а векторы умножаются с использованием приведенных выше правил умножения элементов ${displaystyle r,p,s}$.Набор

${displaystyle {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}}$ т.е. ${displaystyle {r,p,s}}$

образует основа для алгебры ${displaystyle A}$. Как и раньше, векторное умножение в ${displaystyle A}$ коммутативен, но не ассоциативен.

Та же процедура может быть использована для получения любой коммутативной магмы. ${displaystyle M}$ коммутативная алгебра над ${displaystyle K}$ на ${displaystyle K^{M}}$, который будет неассоциативным, если ${displaystyle M}$ является.