Coiflet - Coiflet

Койфлет с двумя исчезающими моментами

Койфлеты дискретны вейвлеты разработано Ингрид Добеши, по запросу Рональд Койфман, чтобы иметь масштабирующие функции с исчезающими моментами. Вейвлет почти симметричен, их вейвлет-функции имеют ${\displaystyle N/3}$ исчезающие моменты и функции масштабирования ${\displaystyle N/3-1}$, и использовался во многих приложениях, использующих Операторы Кальдерона-Зигмунда.^[1][2]

Теория

Некоторые теоремы о Койфлетах:^[3]

Теорема 1.

Для вейвлет-системы {${\displaystyle \phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}}$} следующие три уравнения эквивалентны:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\\{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(0,l]=0&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\\sum _{n}(-1)^{n}n^{l}h[n]=0&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\H^{(l)}(\pi )=0&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\\end{array}}}$
и аналогичная эквивалентность имеет место между ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle {\tilde {h}}}$

Теорема 2.

Для вейвлет-системы {${\displaystyle \phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}}$} следующие шесть уравнений эквивалентны:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\\{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(0,l]=t_{0}^{l}&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\{\hat {\phi }}^{(}l)(0)=(-jt_{0})^{t}&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\\sum _{n}(n-t_{0})^{l}h[n]=\delta [l]&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\\sum _{n}n^{l}h[n]=t_{0}^{l}&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\H^{(l)}(0)=(-jt_{0})^{t}&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,L-1}}\\\end{array}}}$
и аналогичная эквивалентность имеет место между ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ и ${\displaystyle {\tilde {h}}}$

Теорема 3.

Для биортогональной вейвлет-системы {${\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\phi }},{\tilde {\psi }}}$}, если либо ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ или же ${\displaystyle \psi }$обладает степенью исчезающих моментов L, то следующие два уравнения эквивалентны:
${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\\{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,...,}}{\bar {L}}-1\\{\mathcal {M_{\psi }}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\mbox{for }}l{\mbox{ =0,1,..., }}{\bar {L}}-1\\\end{array}}}$
для любого ${\displaystyle {\bar {L}}}$ такой, что ${\displaystyle {\bar {L}}\ll L}$

Коэффициенты Койфлета

И функция масштабирования (фильтр нижних частот), и функция вейвлета (фильтр верхних частот) должны быть нормализованы коэффициентом ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$. Ниже приведены коэффициенты для функции масштабирования для C6-30. Вейвлет-коэффициенты получаются путем изменения порядка коэффициентов масштабной функции и последующего изменения знака каждого второго (то есть вейвлет C6 = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.544281086116, −1.205718913884, 0.477859456942, 0.102859456942}).

Математически, это похоже ${\displaystyle B_{k}=(-1)^{k}C_{N-1-k}}$ куда k - индекс коэффициента, B - вейвлет-коэффициент и C коэффициент масштабирующей функции. N - индекс вейвлета, т.е. 6 для C6.

Коэффициенты Койфлета (нормализованные до суммы 2)

k	C6	C12	C18	C24	C30
-10					-0.0002999290456692
-9					0.0005071055047161
-8				0.0012619224228619	0.0030805734519904
-7				-0.0023044502875399	-0.0058821563280714
-6			-0.0053648373418441	-0.0103890503269406	-0.0143282246988201
-5			0.0110062534156628	0.0227249229665297	0.0331043666129858
-4		0.0231751934774337	0.0331671209583407	0.0377344771391261	0.0398380343959686
-3		-0.0586402759669371	-0.0930155289574539	-0.1149284838038540	-0.1299967565094460
-2	-0.1028594569415370	-0.0952791806220162	-0.0864415271204239	-0.0793053059248983	-0.0736051069489375
-1	0.4778594569415370	0.5460420930695330	0.5730066705472950	0.5873348100322010	0.5961918029174380
0	1.2057189138830700	1.1493647877137300	1.1225705137406600	1.1062529100791000	1.0950165427080700
1	0.5442810861169260	0.5897343873912380	0.6059671435456480	0.6143146193357710	0.6194005181568410
2	-0.1028594569415370	-0.1081712141834230	-0.1015402815097780	-0.0942254750477914	-0.0877346296564723
3	-0.0221405430584631	-0.0840529609215432	-0.1163925015231710	-0.1360762293560410	-0.1492888402656790
4		0.0334888203265590	0.0488681886423339	0.0556272739169390	0.0583893855505615
5		0.0079357672259240	0.0224584819240757	0.0354716628454062	0.0462091445541337
6		-0.0025784067122813	-0.0127392020220977	-0.0215126323101745	-0.0279425853727641
7		-0.0010190107982153	-0.0036409178311325	-0.0080020216899011	-0.0129534995030117
8			0.0015804102019152	0.0053053298270610	0.0095622335982613
9			0.0006593303475864	0.0017911878553906	0.0034387669687710
10			-0.0001003855491065	-0.0008330003901883	-0.0023498958688271
11			-0.0000489314685106	-0.0003676592334273	-0.0009016444801393
12				0.0000881604532320	0.0004268915950172
13				0.0000441656938246	0.0001984938227975
14				-0.0000046098383254	-0.0000582936877724
15				-0.0000025243583600	-0.0000300806359640
16					0.0000052336193200
17					0.0000029150058427
18					-0.0000002296399300
19					-0.0000001358212135

Функция Matlab

F = coifwavf (W) возвращает масштабный фильтр, связанный с вейвлетом Coiflet, заданным строкой W, где W = 'coifN'. Возможные значения для N: 1, 2, 3, 4 или 5.^[4]

Рекомендации

1. Г. Бейлкин, Р. Койфман, В. Рохлин (1991),Быстрые вейвлет-преобразования и численные алгоритмы, Comm. Pure Appl. Матем., 44, с. 141-183.
2. Ингрид Добеши, Десять лекций по вейвлетам, Общество промышленной и прикладной математики, 1992 г., ISBN  0-89871-274-2
3. «ВЕЙВЛЕТЫ ТИПА КОЙФЛЕТА: ТЕОРИЯ, ДИЗАЙН И ПРИМЕНЕНИЕ» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-05. Получено 2015-01-22.
4. "coifwavf". www.mathworks.com/. Получено 22 января 2015.