Монада кодовой плотности - Codensity monad

В математике, особенно в теория категорий, то монада кодовой плотности фундаментальная конструкция, связывающая монада широкому классу функторы.

Определение

Монада кодовой плотности функтора ${ displaystyle G: D to C}$ определяется как правое расширение Кан из грамм при условии, что это расширение Kan существует. Таким образом, по определению это, в частности, функтор

{ displaystyle T ^ {G}: от C до C.}

Структура монады на

{ displaystyle T ^ {G}}

проистекает из универсального свойства правого расширения Кана.

Монада кодовой плотности существует всякий раз, когда D небольшая категория (имеет только набор, в отличие от правильный класс, морфизмов) и C обладает всеми (небольшими, т.е. индексированными по множеству) ограничениями. Он также существует всякий раз, когда грамм имеет левый сопряженный.

По общей формуле вычисления правых расширений Кана в терминах заканчивается, монада кодовой плотности задается следующей формулой:

{ Displaystyle T ^ {G} (c) = int _ {d in D} G (d) ^ {C (c, G (d))},}

куда ${ Displaystyle С (с, G (d))}$ обозначает набор морфизмы в C между указанными объектами и интегралом обозначает конец. Следовательно, монада кодовой плотности сводится к рассмотрению карт из c к объекту в образе грамм, и отображает из множества таких морфизмов в грамм(d), совместимый на все возможные d. Таким образом, как отмечает Эйвери (2016), монады кодовой плотности имеют некоторое родство с концепцией интеграция и двойная дуализация.

Примеры

Кодовые монады правых сопряжений

Если функтор грамм допускает левый сопряженный F, монада кодовой плотности задается составной ${ Displaystyle G circ F}$ вместе со стандартными картами единицы и умножения.

Конкретные примеры для функторов, не допускающих левого сопряженного

В нескольких интересных случаях функтор грамм является включением полная подкатегория не допуская левого сопряженного. Например, монада кодовой плотности включения FinSet в Набор это монада ультрафильтра присоединение к любому набору M набор ультрафильтры на M. Это было доказано Кеннисон и Гилденхейс (1971), хотя и без использования термина «кодовая плотность». В этой формулировке заявление рассматривается Ленстер (2013), §3).

Связанный пример обсуждается Ленстер (2013), §7): монада кодовой плотности включения конечномерных векторных пространств (над фиксированным полем k) во все векторные пространства является монада двойной дуализации задано путем отправки векторного пространства V к его двойной двойной

{ displaystyle V ^ {**} = operatorname {Hom} ( operatorname {Hom} (V, k), k).}

Таким образом, в этом примере конечная формула, упомянутая выше, упрощает рассмотрение (в обозначениях выше) только одного объекта. d, а именно одномерное векторное пространство, в отличие от рассмотрения всех объектов в D. Адамек и Соуза (2019) показывают, что в ряде ситуаций монада кодовой плотности включения

{ Displaystyle D: = C ^ {fp} substeq C}

конечно представленных объектов (также известных как компактные объекты ) - монада двойной дуализации относительно достаточно хорошей когенерационный объект. Это восстанавливает как включение конечных множеств в множества (где когенератор - это набор из двух элементов), так и включение конечномерных векторных пространств в векторные пространства (где когенератор - это основное поле).

Сипош (2018) показал, что алгебры над монадой кодовой плотности включения конечных множеств (рассматриваемой как дискретные топологические пространства ) в топологические пространства эквивалентны Каменные пространства.Эйвери (2016) показывает, что Жирная монада возникает как монада кодовой плотности естественных забывчивых функторов между определенными категориями выпуклые векторные пространства к измеримые пространства.

Связь с двойственностью Исбелла

Ди Либерти (2019) показывает, что монада кодовой плотности тесно связана с Двойственность Исбелла: для данной небольшой категории C, Двойственность Исбелла относится к присоединению

{ displaystyle { mathcal {O}}: Set ^ {C ^ {op}} rightleftarrows (Set ^ {C}) ^ {op}: Spec}

между категорией предварительные пучки на C (т.е. функторы из противоположной категории C к множествам) и противоположная категория копревесок на C. Монада

{ Displaystyle Spec circ { mathcal {O}}}

индуцированная этим присоединением, как показано, является монадой кодовой плотности Йонеда вложение

{ displaystyle y: C Установить ^ {C ^ {op}}.}

Наоборот, монада кодовой плотности полной малой плотной подкатегории K в неполной категории C как показано, индуцируется двойственностью Исбелла.^[1]

Смотрите также

Монадический функтор

Примечания и ссылки

^ Ди Либерти (2019), §2).

Адамек, Иржи; Соуза, Лурдес (2019), D-ультрафильтры и их монады, arXiv:1909.04950
Эйвери, Том (2016), «Кодовая плотность и монада Жири», Журнал чистой и прикладной алгебры, 220 (3): 1229–1251, arXiv:1410.4432, Дои:10.1016 / j.jpaa.2015.08.017
Ди Либерти, Иван (2019), Кодовая плотность: двойственность Исбелла, про-объекты, компактность и доступность, arXiv:1910.01014
Ленстер, Том (2013), «Кодовая плотность и монада ультрафильтров», Теория и приложения категорий, 28: 332–370, arXiv:1209.3606, Bibcode:2012arXiv1209.3606L
Kennison, J.F .; Гилденхейс, Дион (1971), "Завершение по уравнениям, модели индуцированных троек и про-объектов", Журнал чистой и прикладной алгебры, 1 (4): 317–346, Дои:10.1016/0022-4049(71)90001-6
Сипош, Андрей (2018), «Плотность и каменные пространства», Mathematica Slovaca, 68: 57–70, arXiv:1409.1370, Дои:10.1515 / мс-2017-0080

[1] Ди Либерти (2019), §2).

[1]