Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3) - Clebsch–Gordan coefficients for SU(3)

В математическая физика, Коэффициенты Клебша – Гордана коэффициенты разложения полный угловой момент собственные состояния в несвязанном тензорное произведение основание. Математически они задают разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений в прямая сумма неприводимых представлений, где тип и кратности этих неприводимых представлений известны абстрактно. Название происходит от немецких математиков. Альфред Клебш (1833–1872) и Пол Гордан (1837–1912), который столкнулся с аналогичной проблемой в теория инвариантов.

Обобщение на SU (3) коэффициентов Клебша – Гордана полезно из-за их полезности при характеризации адронные распады, где аромат-SU (3) симметрия существует ( восьмикратный путь ), который соединяет три света кварки: вверх, вниз, и странный.

Группа SU (3)

Основная статья: Специальная унитарная группа

В особая унитарная группа SU это группа унитарные матрицы определитель которого равен 1.^[1] Это множество замкнуто относительно матричного умножения. Все преобразования, характеризуемые особой унитарной группой, не изменяют нормы. В SU (3) симметрия появляется в квантовая хромодинамика, и, как уже указывалось, в симметрии аромата легкого кварка, получившей название Восьмеричный путь (физика). Кварки обладают цветными квантовыми числами и образуют фундаментальное (триплетное) представление SU (3) группа.

Группа SU (3) является подгруппой группы U (3), группа всех унитарных матриц 3 × 3. Условие унитарности накладывает девять соотношений ограничений на 18 степеней свободы комплексной матрицы 3 × 3. Таким образом, размерность U (3) группа равна 9. Кроме того, умножая U по фазе, е^iφ оставляет норму инвариантной. Таким образом U (3) можно разложить на прямой продукт U (1) × SU (3) / Z₃. Из-за этого дополнительного ограничения SU (3) имеет размерность 8.

Генераторы алгебры Ли

Каждая унитарная матрица U можно записать в виде

${\displaystyle U=e^{iH}\,}$

куда ЧАС является эрмитский. Элементы SU (3) можно выразить как

${\displaystyle U=e^{i\sum {a_{k}\lambda _{k}}}}$

куда ${\displaystyle \lambda _{k}}$ являются 8 линейно независимыми матрицами, составляющими основу Алгебра Ли из SU (3), в трипетном представлении. Условие единичного детерминанта требует ${\displaystyle \lambda _{k}}$ матрицы должны быть бесследными, поскольку

${\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}}$.

Явный базис в фундаментальном, 3представление строится аналогично матричной алгебре Паули спиновых операторов. Он состоит из Матрицы Гелл-Манна,

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{array}}}$

Это генераторы SU (3) группа в триплетном представлении, и они нормированы как

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{j}\lambda _{k})=2\delta _{jk}.}$

Структурные константы алгебры Ли группы задаются коммутаторами ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle [\lambda _{j},\lambda _{k}]=2if_{jkl}\lambda _{l}~,}$

куда ${\displaystyle f_{jkl}}$ являются структурными константами полностью антисимметричными и аналогичны символу Леви-Чивиты ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$ из SU (2).

В общем случае они обращаются в нуль, если только они не содержат нечетное число индексов из множества {2,5,7}, соответствующих антисимметричной λс. Примечание ${\displaystyle f_{ljk}={\frac {-i}{2}}\mathrm {tr} ([\lambda _{l},\lambda _{j}]\lambda _{k})}$.

Более того,

${\displaystyle \{\lambda _{j},\lambda _{k}\}={\frac {4}{3}}\delta _{jk}+2d_{jkl}\lambda _{l}}$

куда ${\displaystyle d_{jkl}}$ - полностью симметричные константы коэффициентов. Они исчезают, если количество индексов из набора {2,5,7} нечетное.

Стандартная основа

Корневая система из SU (3). 6 корней взаимно наклонены π/3 образовать гексагональную решетку: α соответствует изоспину; β на U-spin; и α+β на V-спин.

Нормализованный стандартный базис несколько иначе состоит из F-спин операторы, которые определены как ${\displaystyle {\hat {F_{i}}}={\frac {1}{2}}\lambda _{i}}$ для 3, и используются для обращения к любое представление этой алгебры.

В Картан – Вейль базис алгебры Ли SU (3) получается другой заменой базиса, где определяется,^[2]

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }={\hat {F}}_{1}\pm i{\hat {F}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}={\hat {F_{3}}}}$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }={\hat {F}}_{4}\pm i{\hat {F}}_{5}}$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }={\hat {F}}_{6}\pm i{\hat {F}}_{7}}$

${\displaystyle {\hat {Y}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}{\hat {F}}_{8}~.}$

Из-за факторов я в этих формулах это технически основа для комплексификации алгебры Ли su (3), а именно sl (3,C). Таким образом, предыдущая основа по существу та же, что использовалась в книге Холла.^[3]

Коммутационная алгебра генераторов

Стандартный вид генераторов SU (3) группа удовлетворяет коммутационные отношения приведен ниже,

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{3}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{\pm }]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {U}}_{\pm }]=\pm {\hat {U_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\hat {V_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}_{\pm }]=\pm {\hat {I_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {U}}_{\pm }]=\mp {\frac {1}{2}}{\hat {U_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\frac {1}{2}}{\hat {V_{\pm }}},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {I}}_{-}]=2{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}-{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}+{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{-}]=-{\hat {U}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{+}]={\hat {V}}_{+},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\hat {I}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{-}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0.}$

Все остальные коммутационные соотношения вытекают из эрмитового сопряжения этих операторов.

Эти коммутационные соотношения можно использовать для построения неприводимых представлений SU (3) группа.

Представления группы лежат в двумерном я₃−Y самолет. Здесь, ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ обозначает z-компоненту Изоспин и ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ это Гиперзаряд, и они составляют (абелеву) Подалгебра Картана полной алгебры Ли. Максимальное количество взаимно коммутирующих образующих алгебры Ли называется ее классифицировать: SU (3) имеет ранг 2. Остальные 6 образующих, операторы ± лестницы, соответствуют 6 корни расположены на 2-мерной гексагональной решетке фигуры.

Операторы Казимира

Основная статья: Оператор Казимира

В Оператор Казимира - оператор, коммутирующий со всеми генераторами группы Ли. В случае SU (2), квадратичный оператор J² является единственным независимым таким оператором.

В случае SU (3) Напротив, можно построить два независимых оператора Казимира, квадратичный и кубический:^[4]

${\displaystyle {\hat {C_{1}}}=\sum _{k}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{k}}}}$

${\displaystyle {\hat {C_{2}}}=\sum _{jkl}d_{jkl}{\hat {F_{j}}}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{l}}}~.}$

Эти операторы Казимира служат для обозначения неприводимых представлений групповой алгебры Ли SU (3), потому что все состояния в данном представлении принимают одно и то же значение для каждого оператора Казимира, который служит тождеством в пространстве с размерностью этого представления. Это потому, что состояния в данном представлении связаны действием генераторов алгебры Ли, и все генераторы коммутируют с операторами Казимира.

Например, для триплетного представления D(1,0), собственное значение ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$ составляет 4/3, а из ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$, 10/9.

В более общем плане от Формула Фрейденталя, для общего D (p, q), собственное значение^[5] из ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$ является ${\displaystyle (p^{2}+q^{2}+3p+3q+pq)/3}$.

Собственное значение («коэффициент аномалии») ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ является^[6]${\displaystyle (p-q)(3+p+2q)(3+q+2p)/18.}$Это нечетная функция под развязкой п ↔ q. Следовательно, он обращается в нуль для реальных представлений п=q, например, сопряженный, D(1,1), т.е. оба ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ и аномалии за это исчезают.

Представления группы SU (3)

Смотрите также: Представление алгебры Ли § Случай sl (3, C)

Неприводимые представления SU (3) анализируются в разных местах, включая книгу Холла.^[7] Поскольку группа SU (3) односвязна,^[8] представления находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями его алгебры Ли^[9] su (3), или комплексификация^[10] своей алгебры Ли, sl (3,C).

Представления помечены как D(p, q), причем п и q неотрицательные целые числа, где в физическом выражении п это количество кварков и q - количество антикварков. Математически представление D(p, q) могут быть построены путем тензорирования вместе п копии стандартного трехмерного изображения и q копии двойственного стандартного представления, а затем выделение неприводимого инвариантного подпространства.^[11] (См. Также раздел таблиц Юнга ниже: п это количество столбцов с одним квадратом, "кварков" и q количество столбиков с двойным ящиком, «антикварков»). Еще один способ подумать о параметрах п и q как максимальные собственные значения диагональных матриц

${\displaystyle H_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad H_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

(Элементы ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ линейные комбинации элементов ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ и ${\displaystyle {\hat {Y}}}$, но нормированный так, чтобы собственные значения ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ являются целыми числами.) Это нужно сравнить с теория представлений SU (2), где неприводимые представления помечены максимальным собственным значением одного элемента, час.

Представления имеют размерность^[12]

В 10 представление D(3,0) (барионный декуплет со спином 3/2)

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2).}$

и их неприводимые персонажи даны^[13]

${\displaystyle \chi ^{p,q}(\theta ,\phi )=e^{i\theta (p+2q)}\sum \limits _{k=q}^{p+q}\sum \limits _{l=0}^{q}e^{-3i(k+l)\theta /2}\left({\frac {\sin((k-l+1)\phi /2)}{\sin(\phi /2)}}\right).}$

An SU (3) мультиплет может быть полностью задан пять метки, два из которых, собственные значения двух Казимиров, являются общими для всех членов мультиплета. Это обобщает только две метки для SU (2) мультиплетов, а именно собственных значений его квадратичной функции Казимира и я₃.

С ${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {Y}}]=0}$, мы можем пометить различные состояния собственными значениями ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ и ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ операторы, ${\displaystyle |t,y\rangle }$, для данного собственного значения изоспина Казимира. Действие операторов на эти состояния:^[14]

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}|t,y\rangle =t|t,y\rangle }$

Представление генераторов SU (3) группа.

${\displaystyle {\hat {Y}}|t,y\rangle =y|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y-{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y+{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }|t,y\rangle =\alpha |t\pm 1,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }|t,y\rangle =\beta |t\pm {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }|t,y\rangle =\gamma |t\mp {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

Здесь,

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}-{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}}$

и

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}+{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}.}$

15-мерное представление D(2,1)

Все остальные состояния представления могут быть построены последовательным применением лестничные операторы ${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm },{\hat {U}}_{\pm }}$ и ${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }}$ и путем идентификации базовых состояний, которые уничтожаются действием опускающих операторов. Эти операторы лежат в вершинах и центре шестиугольника.

Смотрите также: Кварковая модель

Коэффициент Клебша – Гордана для SU (3)

Представление продукта двух неприводимые представления ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ и ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$ обычно сводится. Символично,

${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus \sigma (P,Q)D(P,Q)~,}$

куда ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ целое число.

Например, два октета (смежных) составляют

${\displaystyle D(1,1)\otimes D(1,1)=D(2,2)\oplus D(3,0)\oplus D(1,1)\oplus D(1,1)\oplus D(0,3)\oplus D(0,0)~,}$

то есть их продукт превращается в икозасептет (27), декуплет, два октета, антидекуплет и синглет, всего 64 состояния.

Правый ряд называется рядом Клебша – Гордана. Отсюда следует, что представление ${\displaystyle D(P,Q)}$ появляется ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ раз в сокращении этого прямого продукта ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ с ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$.

Теперь необходим полный набор операторов, чтобы однозначно указать состояния каждого неприводимого представления внутри только что приведенного. полный набор коммутирующих операторов в случае неприводимого представления ${\displaystyle D(P,Q)}$ является

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1},{\hat {C}}_{2},{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}^{2},{\hat {Y}}\}~,}$

куда

${\displaystyle I^{2}\equiv {I_{1}}^{2}+{I_{2}}^{2}+{I_{3}}^{2}}$.

Таким образом, состояния указанного выше прямого представления продукта полностью представлены набором операторов

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {I}}_{3}(1),{\hat {I}}^{2}(1),{\hat {Y}}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(2),{\hat {I}}_{3}(2),{\hat {I}}^{2}(2),{\hat {Y}}(2)\},}$

где число в скобках обозначает представление, на котором действует оператор.

Альтернативный набор коммутирующих операторов можно найти для прямого представления произведения, если рассмотреть следующий набор операторов,^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&={\hat {C}}_{1}(1)+{\hat {C}}_{1}(2)\\{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&={\hat {C}}_{2}(1)+{\hat {C}}_{2}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&={\hat {I}}^{2}(1)+{\hat {I}}^{2}(2)\\{\hat {\mathbb {Y} }}&={\hat {Y}}(1)+{\hat {Y}}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&={\hat {I}}_{3}(1)+{\hat {I}}_{3}(2).\end{aligned}}}$

Таким образом, в набор коммутирующих операторов входят

${\displaystyle \{{\hat {\mathbb {C} }}_{1},{\hat {\mathbb {C} }}_{2},{\hat {\mathbb {Y} }},{\hat {\mathbb {I} }}_{3},{\hat {\mathbb {I} }}^{2},{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {C}}_{2}(2)\}.}$

Это всего лишь набор из девяти операторов. Но набор должен содержать десять операторов, чтобы однозначно определить все состояния прямого представления продукта. Найти последнего оператора Γ, надо смотреть за пределы группы. Следует различать разные ${\displaystyle D(P,Q)}$ для аналогичных значений п и Q.

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cc|cc|cc}{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}\\\hline {\hat {C}}_{1}(1)&{c^{1}}_{1}&{\hat {C}}_{1}(2)&{c^{1}}_{2}&{\hat {C}}_{2}(1)&{c^{2}}_{1}&{\hat {C}}_{2}(2)&{c^{2}}_{2}\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&{i^{2}}&{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&{i^{z}}&{\hat {\mathbb {Y} }}&{y}&{\hat {\Gamma }}&\gamma \\{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&{c^{1}}&{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&{c^{1}}&{\hat {Y}}_{1}&{y}_{1}&{\hat {Y}}_{2}&{y}_{2}\\{\hat {I}}^{2}(1)&{i^{2}}_{1}&{\hat {I}}^{2}(2)&{i^{2}}_{2}&{\hat {I}}_{3}(1)&{i^{z}}_{1}&{\hat {I}}_{3}(2)&{i^{z}}_{2}\end{array}}}$

Таким образом, любое состояние в прямом представлении продукта может быть представлено кет,

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

также используя второй полный набор коммутирующего оператора, мы можем определить состояния в прямом представлении продукта как

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

Мы можем отбросить ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2}}$ от состояния и пометьте состояния как

${\displaystyle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

используя операторы из первого набора, и,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle ~,}$

используя операторы из второго набора.

Оба эти состояния охватывают прямое представление продукта, и любые состояния в представлении могут быть помечены подходящим выбором собственных значений.

Используя соотношение полноты,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle =\sum _{y_{1},y_{2}}\sum _{{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2}}\sum _{{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}}\langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

Здесь коэффициенты

${\displaystyle \langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

- коэффициенты Клебша – Гордана.

Другое обозначение

Чтобы избежать путаницы, собственные значения ${\displaystyle c^{1},c^{2}}$ можно одновременно обозначить как μ и собственные значения ${\displaystyle i^{2},i^{z},y}$ одновременно обозначаются ν. Тогда собственное состояние прямого представления произведения ${\displaystyle D(P,Q)}$ можно обозначить как^[15]

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}},}$

куда ${\displaystyle \mu _{1}}$ собственные значения ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{2}}_{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ собственные значения ${\displaystyle {c^{1}}_{2},{c^{2}}_{2}}$ обозначается одновременно. Здесь величина, указанная в скобках, - это Символ Вигнера 3-j.

Более того, ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}}$ считаются базисными состояниями ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ и ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ являются базовыми состояниями ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$. Также ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}},{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ являются базовыми состояниями представления продукта. Здесь ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ представляет собой объединенные собственные значения ${\displaystyle ({i^{2}}_{1},{i^{z}}_{1},y_{1})}$ и ${\displaystyle ({i^{2}}_{2},{i^{z}}_{2},y_{2})}$ соответственно.

Таким образом, унитарные преобразования, соединяющие два базиса, следующие:

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}=\sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$

Это сравнительно компактное обозначение. Здесь,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

- коэффициенты Клебша – Гордана.

Отношения ортогональности

Коэффициенты Клебша – Гордана образуют вещественную ортогональную матрицу. Следовательно,

${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}=\sum _{\mu ,\nu ,\gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}\psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}.}$

Кроме того, они следуют следующим отношениям ортогональности:

${\displaystyle \sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma '\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu '\end{pmatrix}}=\delta _{\nu \nu '}\delta _{\gamma ,\gamma '}}$

${\displaystyle \sum _{\mu \nu \gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}'&\nu _{2}'&\nu \end{pmatrix}}=\delta _{\nu _{1}\nu _{1}'}\delta _{\nu _{2},\nu _{2}'}}$

Свойства симметрии

Если неприводимое представление ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{\gamma }}}$ появляется в серии Клебша – Гордана ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{1}\otimes {\mu }_{2}}}$, то он должен входить в ряд Клебша – Гордана ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{2}\otimes {\mu }_{1}}}$. Что подразумевает,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{1}{\begin{pmatrix}\mu _{2}&\mu _{1}&\gamma \\\nu _{2}&\nu _{1}&\nu \end{pmatrix}}}$

Где ${\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$
Поскольку все коэффициенты Клебша – Гордана действительны, можно вывести следующее свойство симметрии:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{2}{\begin{pmatrix}{\mu _{1}}^{*}&{\mu _{2}}^{*}&{\gamma }^{*}\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

Где ${\displaystyle \xi _{2}=\xi _{2}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$.

Группа симметрий гамильтонова оператора трехмерного осциллятора

Трехмерный гармонический осциллятор описывается гамильтонианом

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}),}$

где жесткость пружины, масса и постоянная Планка были включены в определение переменных, час=м=1.

Видно, что этот гамильтониан симметричен относительно преобразований координат, сохраняющих значение ${\displaystyle V=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Таким образом, любые операторы в группе ТАК (3) сохранить этот гамильтониан инвариантным.

Что еще более важно, поскольку гамильтониан эрмитов, он в дальнейшем остается инвариантным по отношению к элементам гораздо большей SU (3) группа.

Доказательство того, что группа симметрии линейного изотропного трехмерного гармонического осциллятора есть SU (3)^[16] —

Симметричный (диадический) тензорный оператор, аналогичный Вектор Лапласа – Рунге – Ленца. для проблемы Кеплера можно определить,

${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}p_{i}p_{j}+\omega ^{2}r_{i}r_{j}}$

который коммутирует с гамильтонианом,

${\displaystyle [{\hat {A}}_{ij},{\hat {H}}]=0.}$

Поскольку он коммутирует с гамильтонианом (своим следом), он представляет 6−1 = 5 констант движения.

Он имеет следующие свойства:

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {L}}_{j}=\sum _{i}{\hat {L}}_{i}{\hat {A}}_{ij}=0}$

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {A}}_{jk}={\hat {H}}{\hat {A}}_{ik}+{\frac {1}{4}}\omega ^{2}\{{\hat {L}}_{i}{\hat {L}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {L}}^{2}+2[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{k}]-2\hbar ^{2}\delta _{ik}\}}$

${\displaystyle Tr[{\hat {A}}_{ij}]=\sum _{i}{{\hat {A}}_{ii}}={\hat {H}}.}$

Помимо тензорного следа оператора${\displaystyle {\hat {A}}_{ij},}$, который является гамильтонианом, оставшиеся 5 операторов могут быть преобразованы в их сферическую компонентную форму как

${\displaystyle {\hat {A}}_{0}=\omega ^{-1}(2{\hat {A}}_{33}-{\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\pm }=\mp \omega ^{-1}({\hat {A}}_{13}\pm i{\hat {A}}_{23})}$

${\displaystyle {\hat {A'}}_{\pm }=\omega ^{-1}({\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22}\pm 2i{\hat {A}}_{22})}$

Далее, операторы углового момента записываются в форме сферических компонент как

${\displaystyle {\hat {L}}_{3}={\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }=({\hat {L}}_{1}\pm i{\hat {L}}_{2}).}$

Они подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{0}]=[{\hat {A}}_{0},{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=0}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {L}}_{\mp }]=-4[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]={\frac {1}{2}}[{\hat {A'}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\mp }]=\pm 2\hbar {\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]=\hbar {\hat {A}}_{0}}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {L}}_{\pm }]=-{\frac {2}{3}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {A}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {L}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{\pm }]=-{\frac {1}{6}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {L}}_{\pm }]={\frac {1}{4}}[{\hat {L}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {A}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A'}}_{\pm }]=2[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\pm }]=2\hbar {\hat {A'}}_{\pm }.}$

Восемь операторов (состоящих из 5 операторов, полученных из бесследового симметричного тензорного оператора Â_ij и три независимых компонента вектора углового момента) подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и инфинитезимальные генераторы SU (3) группа, подробно описанная выше.

Таким образом, группа симметрии гамильтониана для линейного изотропного трехмерного гармонического осциллятора изоморфна SU (3) группа.

Более систематично такие операторы, как Лестничные операторы

${\displaystyle {\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}={\hat {X}}_{i}+i{\hat {P}}_{i}~~}$ и ${\displaystyle ~~{\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }={\hat {X}}_{i}+i{\hat {P}}_{i}}$

могут быть построены, которые повышают и понижают собственное значение оператора Гамильтона на 1.

Операторы â_я и â_я^† не отшельники; но эрмитовы операторы могут быть построены из различных их комбинаций,

а именно, ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}$.

Есть девять таких операторов за я, j=1,2,3.

Девять эрмитовых операторов, образованных билинейными формами â_я^†â_j управляются фундаментальными коммутаторами

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=0,}$

и видел нет ездят между собой. В результате этот полный набор операторов не имеет общих собственных векторов, и их нельзя диагонализовать одновременно. Таким образом, группа неабелева, и в гамильтониане могут присутствовать вырождения, как указано.

Гамильтониан трехмерного изотропного гармонического осциллятора, записанный в терминах оператора ${\displaystyle {\hat {N_{i}}}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$ составляет

${\displaystyle {\hat {H}}=\omega {\bigl [}{\tfrac {3}{2}}+{\hat {N}}_{1}+{\hat {N}}_{2}+{\hat {N}}_{3}{\bigr ]}}$.

Гамильтониан имеет 8-кратное вырождение. Последовательное применение â_я и â_j^† слева сохраняет гамильтонов инвариант, так как увеличивает N_я на 1 и уменьшить N_j на 1, тем самым сохраняя общую

${\displaystyle N=\sum {N_{i}}}$ постоянный. (ср. квантовый гармонический осциллятор )

Смотрите также: Карта Иордании

Максимально коммутирующий набор операторов

Поскольку операторы, принадлежащие группе симметрии гамильтониана, не всегда образуют Абелева группа, невозможно найти общий собственный базис, который диагонализирует их все одновременно. Вместо этого мы берем максимально коммутирующий набор операторов из группы симметрии гамильтониана и пытаемся свести матричные представления группы к неприводимым представлениям.

Смотрите также: Полный набор коммутирующих наблюдаемых

Гильбертово пространство двух систем

Гильбертово пространство двух частиц - это тензорное произведение двух гильбертовых пространств двух отдельных частиц,

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {H} _{1}\otimes \mathbb {I} +\mathbb {I} \otimes \mathbb {H} _{2}~,}$

куда ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$ - гильбертово пространство первой и второй частиц соответственно.

Операторы в каждом из гильбертовых пространств имеют свои собственные коммутационные отношения, и оператор одного гильбертова пространства коммутирует с оператором из другого гильбертова пространства. Таким образом, группа симметрии двухчастичного гамильтонова оператора является надмножеством групп симметрии гамильтоновых операторов отдельных частиц. Если отдельные гильбертовы пространства N размерным, комбинированное гильбертово пространство N² размерный.

Коэффициент Клебша – Гордана в этом случае

Группа симметрии гамильтониана равна SU (3). В результате коэффициенты Клебша – Гордана могут быть найдены путем разложения несвязанных базисных векторов группы симметрии гамильтониана в его связанный базис. Ряд Клебша – Гордана получается блочной диагонализацией гамильтониана с помощью унитарного преобразования, построенного из собственных состояний, которое диагонализирует максимальный набор коммутирующих операторов.

Молодые картины

Основная статья: Молодая картина

А Молодая картина (множественное число картины) - это метод разложения произведений СУ (N) представление группы в сумму неприводимых представлений. Он обеспечивает типы размерности и симметрии неприводимых представлений, которые известны как ряд Клебша – Гордана. Каждое неприводимое представление соответствует одночастичному состоянию, а произведение более чем одного неприводимого представления указывает на многочастичное состояние.

Поскольку в квантовой механике частицы в основном неразличимы, это приблизительно относится к нескольким перестановочным частицам. Перестановки п идентичные частицы составляют симметричная группа S_п. Каждый п-частичное состояние S_п состоящий из одночастичных состояний фундаментального N-мерный SU (N) мультиплет принадлежит неприводимому SU (N) представлению. Таким образом, его можно использовать для определения ряда Клебша – Гордана для любой унитарной группы.^[17]

Построение состояний

Любая двухчастичная волновая функция ${\displaystyle \psi _{1,2}}$, где индексы 1,2 представляют состояние частицы 1 и 2, можно использовать для генерации состояний явной симметрии с помощью операторов симметризации и антисимметризации.^[18]

${\displaystyle \mathbf {S_{12}} =\mathbf {I} +\mathbf {P_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {A_{12}} =\mathbf {I} -\mathbf {P_{12}} }$

где ${\displaystyle \mathbf {P_{12}} }$ являются оператором, который меняет местами частицы (оператор обмена).

Следующее соотношение следует:^[18]-

${\displaystyle \mathbf {P_{12}P_{12}} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}S_{12}} =\mathbf {P_{12}} +\mathbf {I} =\mathbf {S_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}A_{12}} =\mathbf {P_{12}} -\mathbf {I} =-\mathbf {A_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {S_{12}} \psi _{12}=+\mathbf {S_{12}} \psi _{12}}$

таким образом,

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {A_{12}} \psi _{12}=-\mathbf {A_{12}} \psi _{12}.}$

Начиная с многостороннего состояния, мы можем применить ${\displaystyle \mathbf {S_{12}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {A_{12}} }$ многократно для построения состояний, которые:^[18]-

1. Симметричный относительно всех частиц.
2. Антисимметричный по всем частицам.
3. Смешанные симметрии, т.е. симметричные или антисимметричные относительно некоторых частиц.

Построение картин

Вместо того, чтобы использовать ψ, в таблицах Юнга используются квадратные прямоугольники (□) для обозначения частиц и я для обозначения состояния частиц.

Образец картины Юнга. Число внутри прямоугольников обозначает состояние частиц.

Полный комплект ${\displaystyle n_{p}}$ частицы обозначаются расположением ${\displaystyle n_{p}}$ □s, каждый со своей меткой квантового числа (я).

Таблицы формируются путем наложения боксов бок о бок и вверх-вниз таким образом, что состояния, симметризованные по отношению ко всем частицам, задаются в виде строки, а состояния, антисимметризованные по отношению ко всем частицам, лежат в одном столбце. При построении картинок соблюдаются следующие правила:^[17]

1. Строка не должна быть длиннее предыдущей.
2. Квантовые метки (числа в □) не должна уменьшаться при переходе слева направо подряд.
3. Квантовые метки должны строго увеличиваться при спуске по столбцу.

Чехол для N = 3

За N= 3, то есть в случае SU (3), возникает следующая ситуация. В SU (3) есть три метки, они обычно обозначаются как (u, d, s), соответствующие верхним, нижним и странным кваркам, которые следует алгебре SU (3). Их также можно обозначить в общем виде как (1,2,3). Для двухчастичной системы мы имеем следующие шесть состояний симметрии:

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|c|}\hline 1&1\\\hline \end{array}} \atop uu}}$

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|c|}\hline 1&2\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ud+du)}}$

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|c|}\hline 1&3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(us+su)}}$

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|c|}\hline 2&2\\\hline \end{array}} \atop dd}}$

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|c|}\hline 2&3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ds+sd)}}$

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|c|}\hline 3&3\\\hline \end{array}} \atop ss}}$

и следующие три антисимметричных состояния:

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 2\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ud-du)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(us-su)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ds-sd)}}$

The 1-column, 3-row tableau is the singlet, and so all tableaux of nontrivial irreps of SU(3) cannot have more than two rows. The representation D(p,q) имеетр + д boxes on the top row and q boxes on the second row.

Clebsch–Gordan series from the tableaux

Clebsch–Gordan series is the expansion of the direct product of two irreducible representation into direct sum of irreducible representations.${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus D(P,Q)}$. This can be easily found out from the Young tableaux.

Procedure to obtain the Clebsch–Gordan series from Young tableaux:

The following steps are followed to construct the Clebsch–Gordan series from the Young tableaux:[19] Write down the two Young diagrams for the two irreps under consideration, such as in the following example. In the second figure insert a series of the letter a in the first row, the letter b in the second row, the letter c in the third row, etc. in order to keep track of them once they are included in the various resultant diagrams: Take the first box containing an а and appends it to the first Young diagram in all possible ways that follow the rules for creation of a Young diagram: Then take the next box containing an а and do the same thing with it, except that we are not allowed to put two а's together in the same column. The last diagram in the curly bracket contains two а in the same column thus the diagram must be deleted. Thereby giving: Append the last box to the diagram in curly bracket in all possible ways resulting in: In each rows while counting from right to left, if at any point the number of a particular alphabet encountered be more than the number of the previous alphabet, then the diagram must be deleted. Here the first and the third diagram should be deleted, resulting in:

Example of Clebsch–Gordan series for SU(3)

The tensor product of a triplet with an octet reducing to a deciquintuplet (15), an anti-sextet, and a triplet

${\displaystyle D(1,0)\otimes D(1,1)=D(2,1)\oplus D(0,2)\oplus D(1,0)}$

appears diagrammatically as^[19]-

a total of 24 states.Using the same procedure, any direct product representation is easily reduced.

Смотрите также: Формула длины крючка

Смотрите также

• Wigner D-matrix
• Тензорный оператор
• Wigner-Eckart theorem
• Теория представлений
• Racah W-coefficient
• Формула масс Гелл-Манна – Окубо

Рекомендации

1. P. Carruthers (1966) Introduction to Unitary symmetry, Interscience. онлайн.
2. Introduction to Elementary Particles- Дэвид Дж. Гриффитс, ISBN  978-3527406012, Chapter-1, Page33-38
3. Hall 2015 Раздел 6.2
4. Bargmann, V .; Moshinsky, M. (1961). "Group theory of harmonic oscillators (II). The integrals of Motion for the quadrupole-quadrupole interaction". Ядерная физика. 23: 177–199. Bibcode:1961NucPh..23..177B. Дои:10.1016/0029-5582(61)90253-X.
5. See eq. 3.65 in Pais, A. (1966). "Dynamical Symmetry in Particle Physics". Обзоры современной физики. 38 (2): 215–255. Bibcode:1966RvMP...38..215P. Дои:10.1103/RevModPhys.38.215.
6. Pais, ibid. (3.66)
7. Hall 2015 Глава 6
8. Hall 2015 Proposition 13.11
9. Hall 2015 Theorem 5.6
10. Hall 2015 Section 3.6
11. See the proof of Proposition 6.17 in Hall 2015
12. Hall 2015 Theorem 6.27 and Example 10.23
13. Greiner & Müller 2012, Гл. 10.15 Note: There is a typo in the final quoting of the result - in Equation 10.121 the first ${\displaystyle \varphi }$ should instead be a ${\displaystyle \psi }$.
14. Senner & Schulten
15. De Swart, J. J. (1963). "The Octet Model and its Clebsch-Gordan Coefficients" (PDF). Обзоры современной физики. 35 (4): 916–939. Bibcode:1963RvMP...35..916D. Дои:10.1103/RevModPhys.35.916. (Erratum: [De Swart, J. J. (1965). Обзоры современной физики. 37 (2): 326. Bibcode:1965RvMP...37..326D. Дои:10.1103/RevModPhys.37.326.])
16. Fradkin, D. M. (1965). "Three-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator and SU3". Американский журнал физики. 33 (3): 207–211. Bibcode:1965AmJPh..33..207F. Дои:10.1119/1.1971373.
17. Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005). "4. Group Theory". Математические методы для физиков, международное студенческое издание (6-е изд.). Эльзевир. С. 241–320. ISBN  978-0-08-047069-6.
18. http://hepwww.rl.ac.uk/Haywood/Group_Theory_Lectures/Lecture_4.pdf
19. "Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps for su(n)" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-11-07. Получено 2014-11-07.

• Lichtenberg, D.B. (2012). Unitary Symmetry and Elementary Particles (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN  978-0123941992.
• Грейнер, В.; Müller, B. (2012). Quantum Mechanics: Symmetries (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3540580805.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• McNamee, P.; j., S.; Chilton, F. (1964). "Tables of Clebsch-Gordan Coefficients of SU3". Обзоры современной физики. 36 (4): 1005. Bibcode:1964RvMP...36.1005M. Дои:10.1103/RevModPhys.36.1005.
• Mandel'tsveig, V. B. (1965). "Irreducible representations of the SU3 group". Sov Phys JETP. 20 (5): 1237–1243. онлайн
• Coleman, Sidney (1965). "Fun with SU(3)". INSPIREHep. МАГАТЭ.
• Pluhar, Z.; Smirnov, Yu F.; Tolstoy, V. N. (1986). "Clebsch-Gordan coefficients of SU(3) with simple symmetry properties". Журнал физики A: математические и общие. 19 (1): 21–28. Bibcode:1986JPhA...19...21P. Дои:10.1088/0305-4470/19/1/007.