Уравнение Коши – Эйлера - Cauchy–Euler equation

В математика, Уравнение Эйлера – Коши, или же Уравнение Коши – Эйлера, или просто Уравнение Эйлера это линейный однородный обыкновенное дифференциальное уравнение с переменные коэффициенты. Иногда его называют равноразмерный уравнение. Благодаря своей особенно простой равноразмерной структуре дифференциальное уравнение может быть решено явно.

Уравнение

Позволять у^(п)(Икс) быть п-я производная неизвестной функцииу(Икс). Тогда уравнение Коши – Эйлера порядка п имеет форму

${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.}$

Замена ${\displaystyle x=e^{u}}$ (это, ${\displaystyle u=\ln(x)}$; за ${\displaystyle x<0}$, можно заменить все экземпляры ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle |x|}$, что расширяет область решения до ${\displaystyle R_{0}}$) можно использовать для сведения этого уравнения к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. В качестве альтернативы пробное решение ${\displaystyle y=x^{m}}$ может использоваться для непосредственного поиска основных решений.^[1]

Второй порядок - решение через пробное решение

Типичные кривые решения уравнения Эйлера – Коши второго порядка для случая двух действительных корней

Типичные кривые решения уравнения Эйлера – Коши второго порядка для случая двойного корня

Типичные кривые решения уравнения Эйлера – Коши второго порядка для случая комплексных корней

Наиболее распространенное уравнение Коши – Эйлера - это уравнение второго порядка, которое встречается в ряде физических и технических приложений, например, при решении Уравнение Лапласа в полярных координатах. Уравнение Коши – Эйлера второго порядка имеет вид^[1]

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,}$

Мы предполагаем пробное решение^[1]

${\displaystyle y=x^{m}.\,}$

Дифференциация дает

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\,}$

и

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,}$

Подстановка в исходное уравнение приводит к требованию

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}$

Преобразование и разложение на множители дают указательное уравнение

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}$

Затем мы решаем для м. Есть три конкретных случая, представляющих интерес:

• Случай № 1 двух различных корней, м₁ и м₂;
• Случай № 2 одного реального повторяющегося корня, м;
• Случай # 3 сложных корней, α ± βi.

В случае №1 решение

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}$

В случае № 2 решение

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}$

Чтобы добраться до этого решения, метод сокращение порядка необходимо применять после нахождения одного решения у = Икс^м.

В случае № 3 решение

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$

За ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ∈ ℝ.

Эта форма решения получается путем задания Икс = е^т и используя Формула Эйлера

Второй порядок - решение заменой переменных

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0\,}$

Мы работаем с подстановкой переменных, определяемой

${\displaystyle t=\ln(x).\,}$

${\displaystyle y(x)=\varphi (\ln(x))=\varphi (t).\,}$

Дифференциация дает

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\varphi }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}{\bigg (}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d\varphi }{dt}}{\bigg )}.}$

Подстановка ${\displaystyle \varphi (t)}$ дифференциальное уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\varphi }{dt}}+b\varphi =0.\,}$

Это уравнение в ${\displaystyle \varphi (t)}$ решается через свой характеристический многочлен

${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$

Теперь позвольте ${\displaystyle \lambda _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$ обозначим два корня этого многочлена. Мы анализируем два основных случая: различные корни и двойные корни:

Если корни разные, общее решение

${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}}$, где экспоненты могут быть комплексными.

Если корни равны, общее решение

${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$

В обоих случаях решение ${\displaystyle y(x)}$ можно найти, установив ${\displaystyle t=\ln(x)}$.

Следовательно, в первом случае

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$,

а во втором случае

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$

пример

Данный

${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$

подставляем простое решение Икс^м:

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})-3x(mx^{m-1})+3x^{m}=m(m-1)x^{m}-3mx^{m}+3x^{m}=(m^{2}-4m+3)x^{m}=0\,.}$

За Икс^м быть решением, либо Икс = 0, что дает банальный решение, или коэффициент Икс^м равно нулю. Решая квадратное уравнение, получаемм = 1, 3. Таким образом, общее решение

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$

Аналог разностного уравнения

Существует разностное уравнение аналог уравнения Коши – Эйлера. Для фиксированного м > 0, определим последовательность ƒ_м(п) так как

${\displaystyle f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1).}$

Применение оператора разности к ${\displaystyle f_{m}}$, мы находим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}}$

Если мы сделаем это k раз, мы находим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}}$

где верхний индекс ^(k) означает применение разностного оператора k раз. Сравнивая это с тем, что k-я производная от Икс^м равно

${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}}$

предполагает, что мы можем решить N-разностное уравнение

${\displaystyle f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,}$

аналогично случаю дифференциального уравнения. Действительно, подставляя пробное решение

${\displaystyle y(n)=f_{m}(n)\,}$

приводит нас к той же ситуации, что и в случае дифференциального уравнения,

${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\cdots +a_{1}m+a_{0}=0.}$

Теперь можно поступить так же, как в случае дифференциального уравнения, поскольку общее решение Nлинейное разностное уравнение -го порядка также является линейной комбинацией N линейно независимые решения. Применение редукции порядка при множественном корне м₁ даст выражения, включающие дискретную версию ln,

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.}$

(Сравнить с: ${\displaystyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {1}{t-m_{1}}}\,dt.}$)

В случаях, когда участвуют фракции, можно использовать

${\displaystyle f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}}$

вместо этого (или просто используйте его во всех случаях), что совпадает с определением ранее для целого числам.

Смотрите также

• Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
• Оператор Коши – Эйлера

Рекомендации

1. Крейсциг, Эрвин (10 мая 2006 г.). Высшая инженерная математика. Вайли. ISBN  978-0-470-08484-7.

Библиография

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Коши – Эйлера». MathWorld.