Неравенство Кантеллиса - Cantellis inequality

В теория вероятности, Неравенство Кантелли является обобщением Неравенство Чебышева в случае одиночного «хвоста».^[1][2][3] Неравенство гласит, что

${\displaystyle \Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\quad {\begin{cases}\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}&{\text{if }}\lambda >0,\\[8pt]\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}&{\text{if }}\lambda <0.\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle X}$ ценный случайная переменная,

${\displaystyle \Pr }$ это вероятностная мера,

${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ это ожидаемое значение из ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ это отклонение из ${\displaystyle X}$.

Объединяя случаи ${\displaystyle \lambda >0}$ и ${\displaystyle \lambda <0}$ дает, для ${\displaystyle \delta >0,}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mathbb {E} [X]|\geq \delta )\leq {\frac {2\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\delta ^{2}}}.}$

Более слабая версия Неравенство Чебышева.

Хотя неравенство часто объясняется Франческо Паоло Кантелли кто опубликовал его в 1928 году,^[4] он берет начало в работе Чебышева 1874 года.^[5] Из неравенства Чебышева следует, что в любом образец данных или же распределение вероятностей, "почти все" значения близки к иметь в виду с точки зрения абсолютная величина разницы между точками выборки данных и средневзвешенным значением выборки данных. Неравенство Кантелли (иногда называемое «неравенством Чебышева – Кантелли» или «односторонним неравенством Чебышева») позволяет оценить, насколько точки выборки данных больше или меньше их средневзвешенного значения без двух хвостов оценка абсолютного значения. Неравенство Чебышева имеет "версии высших моментов" и "векторные версии", как и неравенство Кантелли.

Доказательство

Дело ${\displaystyle \lambda >0}$

Позволять ${\displaystyle X}$ - вещественная случайная величина с конечной дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ и ожидание ${\displaystyle \mu }$, и определим ${\displaystyle Y=X-\mathbb {E} [X]}$ (так что ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=0}$ и ${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}}$).

Тогда для любого ${\displaystyle u\geq 0}$, у нас есть

${\displaystyle \Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )=\Pr(Y\geq \lambda )=\Pr(Y+u\geq \lambda +u)\leq \Pr((Y+u)^{2}\geq (\lambda +u)^{2})\leq {\frac {\mathbb {E} [(Y+u)^{2}]}{(\lambda +u)^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}+u^{2}}{(\lambda +u)^{2}}}.}$

последнее неравенство является следствием Неравенство Маркова. Как указано выше, для любого выбора ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$, мы можем применить его со значением, которое минимизирует функцию ${\displaystyle u\geq 0\mapsto {\frac {\sigma ^{2}+u^{2}}{(\lambda +u)^{2}}}}$. Путем дифференцирования можно увидеть, что ${\displaystyle u_{\ast }={\frac {\sigma ^{2}}{\lambda }}}$, что приводит к

${\displaystyle \Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\leq {\frac {\sigma ^{2}+u_{\ast }^{2}}{(\lambda +u_{\ast })^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}+\sigma ^{2}}}}$ если ${\displaystyle \lambda >0}$

Дело ${\displaystyle \lambda <0}$

Действуем как прежде, пишем ${\displaystyle \alpha =-\lambda >0}$ и для любого ${\displaystyle u\geq 0}$

${\displaystyle \Pr(X-\mathbb {E} [X]<\lambda )=\Pr(-Y>\alpha )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}+\sigma ^{2}}}}$

используя предыдущий вывод на ${\displaystyle -Y}$. Взяв дополнение к левой части, получим

${\displaystyle \Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}+\sigma ^{2}}}}$ если ${\displaystyle \lambda <0}$

Обобщения

Используя большее количество моментов, можно показать различные более сильные неравенства. Хэ, Чжан и Чжан и показали:^[6] когда${\displaystyle \mathbb {E} [X]=0}$ и${\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=1}$:

${\displaystyle \Pr(X\geq \lambda )\leq 1-(2{\sqrt {3}}-3){\frac {(1+\lambda ^{2})^{2}}{\mathbb {E} [X^{4}]+6\lambda ^{2}+\lambda ^{4}}}}$

Смотрите также

• Неравенство Пэли – Зигмунда.

Рекомендации

1. Исследования и практика принятия решений по множественным критериям: материалы XIV Международной конференции по принятию решений по множественным критериям (MCDM), Шарлоттсвилл, Вирджиния, США, 8–12 июня 1998 г., под редакцией Ю.Я. Хаймс и Р. Штойер, Springer, 2000, ISBN  3540672664.
2. «Неравенство хвоста и концентрации» Хунг К. Нго
3. "Неравенства концентрации меры" Габора Лугоши
4. Кантелли, Ф. П. (1928), "Sui confini della probabilita", Atti del Congresso International del Matematici, Болонья, 6, 47-5
5. Гош Б.К., 2002. Вероятностные неравенства, связанные с теоремой Маркова. Американский статистик, 56 (3), стр.186-190
6. Он, С .; Zhang, J .; Чжан, С. (2010). «Граничная вероятность малого отклонения: подход четвертого момента». Математика исследования операций. 35 (1): 208–232. Дои:10.1287 / moor.1090.0438. S2CID  11298475.