Цис (математика) - cis (mathematics)

СНГ реже используется математическая запись определяется СНГ Икс = cos Икс + я грех Икс,^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][чрезмерное цитирование ]} куда потому что это косинус функция я это мнимая единица и грех это синус функция. Обозначения используются реже, чем Формула Эйлера, е^ix, который предлагает еще более короткие и общие обозначения для потому что Икс + я грех Икс.

Обзор

В СНГ обозначение было впервые введено Уильям Роуэн Гамильтон в Элементы кватернионов (1866)^[10][11] и впоследствии использовался Ирвинг Стрингхэм в таких произведениях, как Одноплоскостная алгебра (1893),^[12][13] или по Джеймс Харкнесс и Фрэнк Морли в их Введение в теорию аналитических функций (1898).^[13][14] Он соединяет тригонометрические функции с экспоненциальные функции в комплексная плоскость через Формула Эйлера.

В основном он используется как удобная сокращенная запись для упрощения некоторых выражений,^{[10][12][3][15][16]} например в сочетании с Фурье и Хартли преобразовывает,^[2][6][7] или когда экспоненциальные функции по какой-либо причине не следует использовать в математическом образовании.

В информационных технологиях функция видит специальную поддержку в различных высокопроизводительных математических библиотеках (например, Intel с Математическая библиотека ядра (MKL)^[17]), доступный для многих компиляторов, языков программирования (включая C, C ++,^[18] Common Lisp,^[19][20] D,^[21] Фортран,^[22] Haskell,^[23] Юля^[24]) и операционные системы (включая Windows, Linux,^[22] macOS и HP-UX^[25]). В зависимости от платформы объединенная операция примерно в два раза быстрее, чем индивидуальный вызов функций синуса и косинуса.^[21][26]

Связь с комплексной экспоненциальной функцией

В комплексная экспоненциальная функция можно выразить

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$^[1]

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x}$

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

куда я² = −1.

Это также можно выразить с помощью следующих обозначений

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$^[1][4][26]

т.е. "СНГ"аббревиатуры"cos + я грех".

Хотя на первый взгляд это обозначение излишне, оно эквивалентно е^ix, его использование имеет ряд преимуществ, таких как прямая привязка к полярной форме комплексного числа (и более легкое понимание).

Математические тождества

Производная

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$^[1][27]

интеграл

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$^[1]

Другие свойства

Они следуют непосредственно из Формула Эйлера.

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$^[28]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

Приведенные выше тождества верны, если Икс и у любые комплексные числа. Если Икс и у реальны, тогда

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$^[28]

История

Эти обозначения были более распространены в эпоху после Второй мировой войны, когда пишущие машинки использовались для передачи математических выражений.

Верхние индексы смещены по вертикали и меньше 'СНГ' или же 'exp'; следовательно, они могут быть проблематичными даже для рукописного ввода, например, е^ix2 против цис (Икс²) или же ехр (ix²). Для многих читателей цис (Икс²) - самый ясный и легкий для чтения из трех.^{[нужна цитата ]}

В СНГ нотация иногда используется, чтобы подчеркнуть один метод рассмотрения и решения проблемы по сравнению с другим.^[29] Математика тригонометрии и экспонент связаны, но не совсем одинаковы; экспоненциальная запись подчеркивает целое, тогда как СНГ Икс и потому что Икс + я грех Икс обозначения подчеркивают части. Это может быть риторически полезно математикам и инженерам при обсуждении этой функции, а также служить мнемонический (за cos + я грех).

В СНГ нотация удобна для студентов-математиков, чьи знания тригонометрии и комплексных чисел допускают эту нотацию, но чье концептуальное понимание еще не позволяет использовать нотацию е^ix. По мере того как учащиеся изучают концепции, основанные на предшествующих знаниях, важно не заставлять их усваивать математические уровни, к которым они еще не готовы: обычное доказательство того, что СНГ Икс = е^ix требует исчисление, который студент, возможно, не изучал до того, как встретил выражение потому что Икс + я грех Икс.

В 1942 году вдохновленный СНГ обозначение Ральф В. Л. Хартли представил cas (за косинус-синус) функция для вещественнозначных Ядро Хартли, тем временем созданный ярлык в сочетании с Хартли преобразовывает:^[30][31]

${\displaystyle \operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.}$

Смотрите также

• Формула де Муавра
• Формула Эйлера
• Комплексное число
• Теорема Птолемея
• Фазор
• Versor

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. (2015) [2000]. "СНГ". MathWorld. Wolfram Research, Inc. В архиве из оригинала от 27.01.2016. Получено 2016-01-09.
2. Л.-Рундблад, Екатерина; Майдан, Алексей; Новак, Петр; Лабунец, Валерий (2004). «Быстрые цветные вейвлет-преобразования Хаара-Хартли-Прометея для обработки изображений». Написано в Prometheus Inc., Ньюпорт, США. В Бирнсе, Джиме (ред.). Вычислительная некоммутативная алгебра и приложения (PDF). Наука НАТО II: математика, физика и химия (NAII). 136. Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media, Inc. С. 401–411. Дои:10.1007/1-4020-2307-3. ISBN  978-1-4020-1982-1. ISSN  1568-2609. В архиве (PDF) из оригинала на 28.10.2017. Получено 2017-10-28.
3. Своковски, граф; Коул, Джеффри (2011). Precalculus: функции и графики. Серия Precalculus (12-е изд.). Cengage Learning. ISBN  978-0-84006857-6. Получено 2016-01-18.
4. Симмонс, Брюс (28.07.2014) [2004]. "СНГ". Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления. Орегон, штат Орегон, США: Общественный колледж Клакамас, Математический факультет. Получено 2016-01-15.
5. Симмонс, Брюс (2014-07-28) [2004]. «Полярная форма комплексного числа». Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления. Орегон, штат Орегон, США: Общественный колледж Клакамас, Математический факультет. Получено 2016-01-15.
6. Каммлер, Дэвид В. (17 января 2008 г.). Первый курс анализа Фурье (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-13946903-6. Получено 2017-10-28.
7. Лоренцо, Карл Ф .; Хартли, Том Т. (14 ноября 2016 г.). Дробная тригонометрия: с приложениями к дробным дифференциальным уравнениям и науке. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-1-11913942-3. Получено 2017-10-28.
8. Пирс, Род (2016-01-04) [2000]. «Умножение комплексных чисел». Математика - это весело. Получено 2016-01-15.
9. Биби, Нельсон Х. Ф. (22 августа 2017 г.). «Глава 15.2. Комплексное абсолютное значение». Справочник по вычислению математических функций - Программирование с использованием переносимой программной библиотеки MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG. п. 443. Дои:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN  978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721.
10. Гамильтон, Уильям Роуэн (1866-01-01). «Глава II. Дробные полномочия, общие корни единства». Написано в Дублине. В Гамильтон, Уильям Эдвин (ред.). Элементы кватернионов (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co., Университетское издательство, Майкл Генри Гилл. С. 250–257, 260, 262–263. Получено 2016-01-17. […] cos […] + я грех […] мы будем иногда сокращать на следующее: […] цис […]. Что касается знаков […], их следует рассматривать как в основном имеющиеся в настоящее время. экспозиция системы и, поскольку нечасто хотели и не использовали в последующем упражняться из них; и то же самое замечание относится к недавнему сокращение СНГ, для cos + я грех […] ([1], [2][3] ) (NB. Эта работа была опубликована посмертно, Гамильтон умер в 1865 году.)
11. Гамильтон, Уильям Роуэн (1899) [1866-01-01]. Гамильтон, Уильям Эдвин; Джоли, Чарльз Джаспер (ред.). Элементы кватернионов. я (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. п. 262. Получено 2019-08-03. […] недавний сокращение СНГ для cos + я грех […] (NB. Настоящее издание перепечатано Chelsea Publ. Co. [де ] в 1969 г.)
12. Стрингхэм, Ирвинг (1893-07-01) [1891]. Унипланарная алгебра, являющаяся частью первой пропедевтики высшего математического анализа. 1. C. A. Mordock & Co. (типограф) (1-е изд.). Сан-Франциско, США: Беркли Пресс. С. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135.. Получено 2016-01-18. Как сокращение от потому что θ + я грех θ удобно использовать цисθ, который можно прочитать: сектор θ.
13. Кахори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений. 2 (3-е исправленное издание номера 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательство open court. п. 133. ISBN  978-1-60206-714-1. Получено 2016-01-18. Stringham обозначенный потому что β + я грех β автор: "СНГβ", обозначение также используется Харкнесс и Морли. (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
14. Харкнесс, Джеймс; Морли, Фрэнк (1898). Введение в теорию аналитических функций (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Макмиллан и компания. стр.18, 22, 48, 52, 170. ISBN  978-1-16407019-1. Получено 2016-01-18. (NB. ISBN для перепечатки издательством Kessinger Publishing, 2010 г.)
15. Рейс, Клайв (2011). Абстрактная алгебра: введение в группы, кольца и поля (1-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО С. 434–438. ISBN  978-9-81433564-5.
16. Вайц, Эдмунд (2016). «Основная теорема алгебры - наглядное доказательство». Гамбург, Германия: Гамбургский университет прикладных наук (HAW), Департамент Medientechnik. В архиве из оригинала на 2019-08-03. Получено 2019-08-03.
17. Intel. "v? CIS". Зона разработчиков Intel. Получено 2016-01-15.
18. «Справочник по компилятору Intel C ++» (PDF). Корпорация Intel. 2007 [1996]. С. 34, 59–60. 307777-004US. Получено 2016-01-15.
19. «СНГ». Common Lisp Hyperspec. The Harlequin Group Limited. 1996. Получено 2016-01-15.
20. «СНГ». LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Получено 2016-01-15.
21. "std.math: expi". Язык программирования D. Цифровой Марс. 2016-01-11 [2000]. Получено 2016-01-14.
22. «Руководство по установке и примечания к выпуску» (PDF). Intel Fortran Compiler Professional Edition 11.0 для Linux (11.0 изд.). 2008-11-06. Получено 2016-01-15.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
23. «СНГ». Справочник по Haskell. ZVON. Получено 2016-01-15.
24. «Математика; математические операторы». Язык Джулии. В архиве из оригинала на 2020-08-19. Получено 2019-12-05.
25. «Некритическое влияние HP-UX 11i v2.0: изменения в IPF libm (NcEn843) - описание расширения CC Impacts - значительные улучшения производительности для функции питания и настройки производительности». Компания Hewlett-Packard Development, L.P. 2007. Получено 2016-01-15.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
26. «Обоснование международного стандарта - языки программирования - C» (PDF). 5.10. Апрель 2003. С. 114, 117, 183, 186–187. В архиве (PDF) из оригинала от 06.06.2016. Получено 2010-10-17.
27. Фукс, Мартин (2011). «Глава 11: Differenzierbarkeit von Funktionen». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Германия. стр.3, 13. Получено 2016-01-15.
28. Фукс, Мартин (2011). «Глава 8.IV: Spezielle Funktionen - Die trigonometrischen Funktionen». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Германия. стр. 16–20. Получено 2016-01-15.
29. Диль, Кристина; Леупп, Марсель (январь 2010 г.). Komplexe Zahlen: Ein Leitprogramm в Mathematik (PDF) (на немецком). Базель и Херизау, Швейцария: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH). п. 41. В архиве (PDF) из оригинала от 27.08.2017. […] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e^iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. In anderen Büchern wird dafür oft der Ausdruck cis (φ) anstelle von e^iφ verwendet. […] (109 стр.)
30. Хартли, Ральф В. Л. (Март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи». Труды IRE. 30 (3): 144–150. Дои:10.1109 / JRPROC.1942.234333. S2CID  51644127.
31. Брейсуэлл, Рональд Н. (Июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07303938-1.