Алгоритм Бузенса - Buzens algorithm

В теория массового обслуживания, дисциплина в рамках математической теория вероятности, Алгоритм Бузена (или же алгоритм свертки) - алгоритм вычисления константа нормализации ГРАММ(N) в Теорема Гордона – Ньюэлла. Этот метод был впервые предложен Джеффри П. Бьюзен в 1973 г.^[1] Вычисление G (N) требуется для вычисления стационарного распределение вероятностей замкнутой сети массового обслуживания.^[2]

Выполнение наивного вычисления нормирующей константы требует перечисления всех состояний. Для системы с N рабочие места и M заявляет, что есть ${\displaystyle {\tbinom {N+M-1}{M-1}}}$ состояния. Алгоритм Бузена «вычисляет G (1), G (2), ..., G (N) с использованием всего НМ умножения и НМ дополнения ». Это значительное улучшение, позволяющее проводить вычисления в гораздо более крупных сетях.^[1]

Настройка проблемы

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с M объекты обслуживания и N циркулирующие клиенты. Написать п_я(т) для количества клиентов, присутствующих на яй объект во время т, так что ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{M}n_{i}=N}$. Мы предполагаем, что время обслуживания клиента на я-я льгота предоставляется экспоненциально распределенный случайная величина с параметром μ_я и что после завершения обслуживания в я-го объекта заказчик перейдет на jй объект с вероятностью п_ij.^[2]

Это следует из Теорема Гордона – Ньюэлла что равновесное распределение этой модели

${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},n_{2},\cdots ,n_{M})={\frac {1}{{\text{G}}(N)}}\prod _{i=1}^{M}\left(X_{i}\right)^{n_{i}}}$

где Икс_я находятся путем решения

${\displaystyle \mu _{j}X_{j}=\sum _{i=1}^{M}\mu _{i}X_{i}p_{ij}\quad {\text{ for }}j=1,\ldots ,M.}$

и грамм(N) - нормирующая константа, выбранная так, чтобы сумма вышеуказанных вероятностей равнялась 1.^[1]

Алгоритм Бузена - эффективный метод вычисления G (N).^[1]

Описание алгоритма

Напишите g (N,M) для нормирующей константы замкнутой сети массового обслуживания с N циркулирующих клиентов и M СТО. Алгоритм начинается с решения указанных выше соотношений для Икс_я а затем задать начальные условия^[1]

${\displaystyle g(0,m)=1{\text{ for }}m=1,2,\cdots ,M}$

${\displaystyle g(n,1)=(X_{1})^{n}{\text{ for }}n=0,1,\cdots ,N.}$

Рекуррентное отношение^[1]

${\displaystyle g(n,m)=g(n,m-1)+X_{m}g(n-1,m).}$

используется для вычисления сетки значений. Искомое значение G (N) = g (N,M).^[1]

Маржинальные распределения, ожидаемое количество клиентов

Коэффициенты g (п,м), вычисленный с использованием алгоритма Бузена, также может быть использован для вычисления маржинальные распределения и ожидал количество клиентов на каждом узле.

${\displaystyle \mathbb {P} (n_{i}=k)={\frac {X_{i}^{k}}{G(N)}}[G(N-k)-X_{i}G(N-k-1)]\quad {\text{ for }}k=0,1,\ldots ,N-1,}$

${\displaystyle \mathbb {P} (n_{i}=N)={\frac {X_{i}^{N}}{G(N)}}[G(0)].}$

ожидаемое количество клиентов на объекте я к

${\displaystyle \mathbb {E} (n_{i})=\sum _{k=1}^{N}X_{i}^{k}{\frac {G(N-k)}{G(N)}}.}$

Выполнение

Предполагается, что Икс_м были вычислены путем решения соответствующих уравнений и доступны в качестве входных данных для нашей процедуры. Несмотря на то что грамм в принципе представляет собой двумерную матрицу, ее можно вычислять по столбцам, начиная с самого левого столбца. Подпрограмма использует один вектор-столбец C для представления текущего столбца грамм.

C[0] := 1за п := 1 шаг 1 до того как N делать   C[п] := 0;за м := 1 шаг 1 до того как M делатьза п := 1 шаг 1 до того как N делать   C[п] := C[п] + Икс[м]*C[п-1];

По завершении C содержит желаемые значения G (0), G (1) к G (N). ^[1]

Рекомендации

1. Бузен, Дж. П. (1973). «Вычислительные алгоритмы для замкнутых сетей массового обслуживания с экспоненциальными серверами» (PDF). Коммуникации ACM. 16 (9): 527. Дои:10.1145/362342.362345.
2. Гордон, В. Дж .; Ньюэлл, Г.Ф. (1967). «Замкнутые системы массового обслуживания с экспоненциальными серверами». Исследование операций. 15 (2): 254. Дои:10.1287 / opre.15.2.254. JSTOR  168557.

• Jain: The Convolution Algorithm (раздаточный материал для класса)
• Menasce: подход свертки к алгоритмам организации очередей (презентация)