Теория бурместеров - Burmesters theory

Теория бурместеров включает геометрические приемы синтеза связи в конце 19 века.^[1] Он был представлен Людвиг Бурместер (1840–1927). Его подход заключался в том, чтобы вычислить геометрические ограничения рычага непосредственно из желаемого изобретателем движения для плавающего звена. С этой точки зрения четырехзвенная навеска - это плавающая ссылка, две точки которой должны лежать на двух окружностях.

Burmester начинался с набора локаций, часто называемых позы, для плавающей ссылки, которые рассматриваются как моментальные снимки ограниченного движения этой плавающей ссылки в проектируемом устройстве. Дизайн заводить поскольку связь теперь становится поиском точки в движущейся плавающей ссылке, которая при просмотре в каждой из этих указанных позиций имеет траекторию, лежащую на окружности. Размер кривошипа - это расстояние от точки плавающего звена, называемой точкой круга, до центра круга, по которому он движется, называемого центральной точкой.^[2] Два кривошипа, сконструированные таким образом, образуют желаемый четырехзвенный рычажный механизм.

Эта формулировка математического синтеза четырехзвенной связи и решения полученных уравнений известна как теория Бурместера.^[3][4][5] Подход был обобщен на синтез сферических и пространственных механизмов.^[6]

Конечный синтез положения

Геометрическая формулировка

Теория Бурместера ищет в движущемся теле точки, траектории которых лежат на окружности, называемые точками вращения. Конструктор аппроксимирует желаемое движение с помощью конечного числа позиций задач; и Burmester показали, что кружащиеся точки существуют для пяти позиций задач. Чтобы найти эти кружащиеся точки, необходимо решить пять квадратных уравнений с пятью неизвестными, что он и сделал, используя методы начертательной геометрии. Графические конструкции Burmester до сих пор встречаются в учебниках теории машин.

P - полюс смещения A¹B¹ к А²B²

Две позиции: В качестве примера рассмотрим задачу, определяемую двумя положениями соединительного звена, как показано на рисунке. Выберите две точки A и B на теле, чтобы их два положения определяли сегменты A¹B¹ и А²B². Легко видеть, что A - точка круга с центром, лежащим на серединном перпендикуляре отрезка A.¹А². Точно так же B - это окружающая точка с центром, который является любой точкой на серединном перпендикуляре к B.¹B². Четырехзвенная связь может быть построена из любой точки двух перпендикулярных биссектрис в качестве неподвижных шарниров и A и B как движущихся шарниров. Точка P явно особенная, потому что это шарнир, который позволяет чисто вращательное движение A¹B¹ к А²B². Это называется полюсом относительного смещения.

Три позиции: Если разработчик указывает три положения задачи, то точки A и B в движущемся теле представляют собой точки по кругу, каждая из которых имеет уникальную центральную точку. Центральная точка для A - это центр круга, проходящего через A.¹, А² и А³ в трех позициях. Точно так же центральная точка для B - это центр круга, который проходит через B.¹, B² и B³. Таким образом, для трех позиций задач четырехстоечная связь получается для каждой пары точек A и B, выбранных в качестве движущихся точек поворота.

Четыре позиции: Графическое решение задачи синтеза становится более интересным в случае четырех позиций задач, потому что не каждая точка тела является точкой кружка. Четыре позиции задачи дают шесть полюсов относительного смещения, и Бурместер выбрал четыре, чтобы сформировать четырехугольник с противоположным полюсом, который затем использовал для графического построения кривой точки кружка (Kreispunktcurven). Burmester также показал, что кривая точки круга была круговой. кубическая кривая в движущемся теле.

Пять позиций: Чтобы достичь пяти позиций задач, Burmester пересекает кривую точек круга, созданную четырехугольником с противоположным полюсом, для набора из четырех из пяти положений задач, с кривой точки поворота, создаваемой четырехугольником с противоположным полюсом, для различных наборов из четырех положений задач. Пять поз подразумевают десять полюсов относительного смещения, что дает четыре различных противоположных четырехугольника полюса, каждый из которых имеет свою собственную кривую точек круга. Burmester показывает, что эти кривые пересекаются в четырех точках, называемых Очки Burmester, каждая из которых начертит пять точек на окружности вокруг центральной точки. Поскольку две точки по кругу определяют связь с четырьмя стержнями, эти четыре точки могут дать до шести связей с четырьмя стержнями, которые направляют связь устройства связи через пять заданных положений задачи.

Алгебраическая формулировка

Подход Burmester к синтезу четырехзвенной связи может быть сформулирован математически путем введения преобразований координат [Т_я] = [А_я, d_я], я = 1, ..., 5, где [А] - матрица вращения 2 × 2 и d вектор сдвига 2 × 1, который определяет позиции задач движущегося фрейма M указано дизайнером.^[6]

Цель процедуры синтеза - вычислить координаты ш = (ш_Икс, ш_у) подвижного стержня, прикрепленного к подвижной раме M и координаты фиксированной оси грамм = (ты, v) в неподвижной рамке F которые обладают свойством ш путешествует по кругу радиуса р о грамм. Траектория ш определяется пятью позициями задач, так что

${\displaystyle \mathbf {W} ^{i}=[T_{i}]\mathbf {w} =[A_{i}]\mathbf {w} +\mathbf {d} _{i},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Таким образом, координаты ш и грамм должен удовлетворять пяти уравнениям,

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Устранение неизвестного радиуса р путем вычитания первого уравнения из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными,

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

Эти уравнения синтеза можно решить численно для получения координат ш = (ш_Икс, ш_у) и грамм = (ты, v), которые определяют местонахождение неподвижных и подвижных шарниров кривошипа, который может использоваться как часть четырехзвенного рычага. Компания Burmester доказала, что таких кривошипов не более четырех, которые можно комбинировать, чтобы получить не более шести четырехзвенных рычагов, которые направляют сцепку через пять заданных положений.

Полезно отметить, что уравнения синтеза можно преобразовать в форму

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {W} ^{1})\cdot \left({\frac {\mathbf {W} ^{i}+\mathbf {W} ^{1}}{2}}-\mathbf {G} \right)=0,\quad i=2,\ldots ,5,}$

что является алгебраическим эквивалентом того, что неподвижный стержень грамм лежит на серединных перпендикулярах каждого из четырех отрезков W^я − W¹, я = 2, ..., 5.

Синтез ввода-вывода

Одно из наиболее распространенных приложений четырехзвенная навеска выглядит как стержень, соединяющий два рычаги, так что вращение первого рычага приводит во вращение второй рычаг. Рычаги навесной к наземной раме и называются Вход и выход чудаки, а шатун называется сцепка связь. Подход Burmester к конструкции четырехзвенного рычага можно использовать для размещения муфты таким образом, чтобы пять заданных углов входного кривошипа давали пять заданных углов выходного кривошипа.

Позволять θ_я, я = 1, ..., 5 - угловые положения входного кривошипа, и пусть ψ_я, я = 1, ..., 5 - соответствующие углы выходного кривошипа. Для удобства расположите неподвижный шарнир ведущего вала в начале неподвижной рамы, О = (0, 0), и пусть неподвижный стержень выходного кривошипа расположен в C = (c_Икс, c_у), который выбирает дизайнер. Неизвестными в этой задаче синтеза являются координаты грамм = (грамм_Икс, грамм_у) крепления муфты к входному кривошипу и координаты ш = (ш_Икс, ш_у) крепления к выходному кривошипу, измеренное в соответствующих системах отсчета.

Хотя координаты ш и грамм неизвестны, их траектории в фиксированной системе отсчета задаются формулами,

${\displaystyle \mathbf {G} ^{i}=[A(\theta _{i})]\mathbf {g} ,\quad \mathbf {W} ^{i}=[A(\psi _{i})]\mathbf {w} +\mathbf {C} ,\quad i=1,\ldots ,5,}$

где [A (•)] обозначает поворот на заданный угол.

Координаты ш и грамм должен удовлетворять пяти уравнениям связи,

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Устранение неизвестной длины соединителя р путем вычитания первого уравнения из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными,

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} ^{1})\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} ^{1})=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

Эти уравнения синтеза можно решить численно для получения координат ш = (ш_Икс, ш_у) и грамм = (грамм_Икс, грамм_у), которые определяют местонахождение соединительной муфты четырехзвенного рычага.

Эта формулировка синтеза вход-выход четырехзвенного рычага представляет собой инверсию синтеза конечных положений, где движение выходного кривошипа относительно входного кривошипа определяется разработчиком. С этой точки зрения OC заземляющего звена представляет собой кривошип, который удовлетворяет заданным конечным положениям движения выходного кривошипа относительно входного кривошипа, и результаты Burmester показывают, что его существование гарантирует наличие по крайней мере одного соединительного звена. Кроме того, результаты Burmester показывают, что может быть до трех таких соединительных звеньев, которые обеспечивают желаемое соотношение ввода-вывода.^[6]

Рекомендации

1. Хартенберг Р. С. и Дж. Денавит. Кинематический синтез связей. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 1964. онлайн через KMODDL.
2. Бурместер, Л. Lehrbuch der Kinematik. Лейпциг: Verlag von Arthur Felix, 1886.
3. Сух, К. Х. и Рэдклифф, К. В. Кинематика и конструкция механизмов. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 1978.
4. Сандор, Г. Н., Эрдман, А. Г. Разработка усовершенствованных механизмов: анализ и синтез. Vol. 2. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1984.
5. Хант, К. Х. Кинематическая геометрия механизмов. Oxford Engineering Science Series, 1979.
6. Дж. М. Маккарти и Г. С. Сох. Геометрический дизайн связей. 2-е издание, Springer, 2010 г..

дальнейшее чтение

• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическая дифференциация, § 3.5 Очки Burmester, стр. 58, Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-00264-8 .
• М. Чеккарелли и Т. Коецер, Бурместер и Аллиеви: Теория и ее применение для проектирования механизмов в конце XIX века, ASME 2006

внешняя ссылка

• Р. Э. Кауфман предоставляет ссылки на видеоролики о KINSYN, оригинальном программном обеспечении для интерактивной графики, реализующем четырехпозиционный синтез Burmester.
• Программное обеспечение Lincages Университета Миннесоты реализует четырехпозиционный синтез Burmester.
• Программное обеспечение Synthetica 3.0 применяет подход Burmester к синтезу пространственных связей.
• Синтез связей на сайте Mechanicaldesign101.com предоставляет блокнот Mathematica для пятипозиционного синтеза Burmester.