Burgers vortex - Burgers vortex

В динамика жидкостей, то Burgers vortex точное решение Уравнения Навье – Стокса управляющий вязкое течение, названный в честь Ян Бургерс.^[1] Вихрь Бюргерса описывает стационарный, самоподобный Направленный внутрь радиальный поток имеет тенденцию концентрироваться завихренность в узком столбике вокруг оси симметрии. В то же время, вязкий диффузия имеет тенденцию распространять завихренность. Стационарный вихрь Бюргерса возникает при уравновешивании двух эффектов.

Вихрь Бюргерса, помимо того, что служит иллюстрацией вихревое растяжение механизм, может описывать такие потоки как торнадо, где завихренность обеспечивается непрерывным конвекция -приводимое вихревое растяжение.

Поле потока

Течение вихря Бюргерса описывается цилиндрической ${ Displaystyle (г, тета, г)}$ координаты. Предполагая осевую симметрию (нет ${ displaystyle theta}$ -зависимость) поле течения, связанное с осесимметричным поток в точке застоя Считается:

{ displaystyle v_ {r} = - alpha r,}

{ displaystyle v_ {z} = 2 alpha z,}

{ displaystyle v _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}} g (r),}

куда ${ displaystyle alpha> 0}$ (скорость деформации) и ${ displaystyle Gamma> 0}$ (циркуляция) постоянны. Поток удовлетворяет уравнение неразрывности двумя первыми из приведенных выше уравнений. Уравнение азимутального импульса уравнений Навье-Стокса затем сводится к^[2]

{ displaystyle r { frac { mathrm {d} ^ {2} g} { mathrm {d} r ^ {2}}} + left ({ frac { alpha r ^ {2}} { nu}} - 1 right) { frac { mathrm {d} g} { mathrm {d} r}} = 0}

Уравнение интегрируется с условием ${ Displaystyle г ( infty) = 1}$ так что на бесконечности решение ведет себя как потенциальный вихрь, но в конечном месте поток является вращательным. Выбор ${ displaystyle g (0) = 0}$ обеспечивает ${ displaystyle v _ { theta} = 0}$ на оси. Решение

{ displaystyle g = 1- exp left (- { frac { alpha r ^ {2}} {2 nu}} right).}

Уравнение завихренности дает только нетривиальную составляющую в ${ displaystyle z}$ -направление, заданное

{ displaystyle omega _ {z} = { frac { Gamma} {2 pi nu}} exp left (- { frac { alpha r ^ {2}} {2 nu}} верно).}

Интуитивно поток можно понять, посмотрев на три члена в уравнении завихренности для ${ displaystyle omega _ {z}}$ . Осевая скорость ${ displaystyle v_ {z}}$ усиливает завихренность ядра вихря на оси за счет растяжения вихря. Усиленная завихренность пытается радиально распространиться наружу, но этому препятствует радиальная конвекция завихренности из-за ${ displaystyle v_ {r}}$ . Трехсторонний баланс обеспечивает стабильное решение.

Салливан вихрь

В 1959 году Роджер Д. Салливан расширил решение вихря Бюргерса, рассмотрев решение вида^[3]

{ displaystyle v_ {r} = - alpha r + { frac {1} {r}} f ( eta),}

{ displaystyle v_ {z} = 2 alpha z left [1 - { frac {f '( eta)} {2 nu}} right],}

{ displaystyle v _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}} { frac {g ( eta)} {g ( infty)}},}

куда ${ Displaystyle eta = альфа г ^ {2} / (2 ню)}$ . Функции ${ displaystyle f ( eta)}$ и ${ displaystyle g ( eta)}$ даны

{ Displaystyle е ( эта) = 6 ню (1-е ^ {- эта}),}

{ displaystyle g ( eta) = { frac { nu} { alpha}} int _ {0} ^ { eta} exp left [-t + 3 int _ {0} ^ {t } { frac {1-e ^ {- s}} {s}} mathrm {d} s right] mathrm {d} t.}

Для вортекса Бюргерса ${ displaystyle v_ {r} <0}$ , ${ displaystyle v _ { theta}> 0}$ и ${ displaystyle v_ {z} / z> 0}$ всегда положительны, результат Салливанса показывает, что ${ displaystyle v_ {r}> 0}$ за ${ displaystyle eta leq 2.821}$ и ${ displaystyle v_ {z} / z <0}$ за ${ displaystyle eta leq 1.099}$ . Таким образом, вихрь Салливана напоминает вихрь Бюргерса для ${ displaystyle eta> 2,821}$ , но формирует двухячеечную структуру вблизи оси из-за смены знака ${ displaystyle v_ {z} / z}$ .