Уравнение Бюргерса - Burgers equation

Уравнение Бюргерса или же Уравнение Бейтмана – Бюргерса фундаментальный уравнение в частных производных происходящие в различных областях Прикладная математика, Такие как механика жидкости,^[1] нелинейная акустика,^[2] газовая динамика, и транспортный поток. Уравнение было впервые введено Гарри Бейтман в 1915 г.^[3][4] и позже изученный Йоханнес Мартинус Бургерс в 1948 г.^[5]

Для данного поля ${\displaystyle u(x,t)}$ и коэффициент диффузии (или же кинематическая вязкость, как в исходном механическом контексте жидкости) ${\displaystyle \nu }$, общая форма уравнения Бюргерса (также известная как вязкое уравнение Бюргерса) в одном измерении пространства диссипативная система:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

Когда диффузионный член отсутствует (т.е. ${\displaystyle \nu =0}$) Уравнение Бюргерса становится невязкое уравнение Бюргерса:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

который является прототипом для уравнения сохранения в которых могут развиться разрывы (ударные волны ). Предыдущее уравнение - это адвективная форма уравнения Бюргерса. В консервативная форма оказывается более полезным при численном интегрировании

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=0.}$

Объяснение терминов

В уравнении Бюргерса 4 члена: ${\displaystyle u,x,t}$ и ${\displaystyle \nu }$. В системе, состоящей из движущейся вязкой жидкости с одним пространственным (${\displaystyle x}$) и один височный (${\displaystyle t}$) размер, например тонкая идеальная труба с протекающей по ней жидкостью, уравнение Бюргерса описывает скорость жидкости в каждом месте вдоль трубы с течением времени. Члены уравнения представляют следующие величины:^[6]

• ${\displaystyle x}$: пространственная координата
• ${\displaystyle t}$: временная координата
• ${\displaystyle u(x,t)}$: скорость жидкости в указанных пространственных и временных координатах
• ${\displaystyle \nu }$: вязкость жидкости

Вязкость - это постоянное физическое свойство жидкости, а другие члены представляют динамику, зависящую от этой вязкости.

Уравнение Невязкого Бюргерса

Это численное моделирование невязкого уравнения Бюргерса в двух пространственных переменных до момента образования ударной волны.

Невязкое уравнение Бюргерса - это уравнение сохранения, в более общем смысле квазилинейный гиперболическое уравнение. Решение уравнения и вместе с начальным условием

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}$

может быть построен метод характеристик. Характеристические уравнения:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}$

Интегрирование второго уравнения говорит нам, что ${\displaystyle u}$ постоянна вдоль характеристики, и интегрирование первого уравнения показывает, что характеристики являются прямыми линиями, т.е.

${\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }$

куда ${\displaystyle \xi }$ точка (или параметр) на Икс-ось (т = 0) из Икс-т плоскость, от которой строится характеристическая кривая. Поскольку в этой точке скорость известна из начального условия и того факта, что это значение не изменяется при движении по характеристике, исходящей из этой точки, мы пишем ${\displaystyle u=c=f(\xi )}$ по этой характеристике. Следовательно, траектория этой характеристики равна

${\displaystyle x=f(\xi )t+\xi .}$

Таким образом, решение дается формулой

${\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =x-f(\xi )t.}$

Это неявное соотношение, которое определяет решение невязкого уравнения Бюргерса при условии, что характеристики не пересекаются. Если характеристики действительно пересекаются, то классического решения уравнения в частных производных не существует и приводит к образованию ударная волна. Фактически, время разрыва прежде, чем может образоваться ударная волна, определяется выражением

${\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\min f'(x)}}.}$

Невязкое уравнение Бюргерса для линейного начального условия

Субраманян Чандрасекар предоставил явное решение в 1943 г., когда начальное условие было линейным, т. е. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$, где a и b - постоянные.^[7] Явное решение

${\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.}$

Это решение также является полный интеграл невязкого уравнения Бюргерса, поскольку оно содержит столько произвольных констант, сколько независимых переменных, входящих в уравнение.^{[8][нужен лучший источник ]} Явные решения для других соответствующих начальных условий, как правило, не известны.

Уравнение вязкого Бюргерса

Это численное решение вязкого двумерного уравнения Бюргерса с использованием начального гауссова профиля. Мы видим формирование и рассеяние скачка за счет вязкости во время его движения.

Уравнение вязкого Бюргерса можно преобразовать в линейное уравнение Преобразование Коула – Хопфа ^[9][10]

${\displaystyle u=-2\nu {\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},}$

что превращает его в уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)}$

которые можно проинтегрировать относительно ${\displaystyle x}$ чтобы получить

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+g(t)\phi }$

куда ${\displaystyle g(t)}$ - функция, зависящая от граничных условий. Если ${\displaystyle g(t)=0}$ тождественно (например, если задача должна быть решена в периодической области), то мы получаем уравнение диффузии

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.}$

Уравнение диффузии можно решить и преобразовать преобразование Коула-Хопфа, чтобы получить решение уравнения Бюргерса:

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{(4\pi \nu t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

Другие формы

Обобщенное уравнение Бюргерса

Обобщенное уравнение Бюргерса расширяет квазилинейную конвективную систему до более обобщенного вида, т. Е.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

куда ${\displaystyle c(u)}$ - произвольная функция от u. Невязкий ${\displaystyle \nu =0}$ уравнение по-прежнему является квазилинейным гиперболическим уравнением для ${\displaystyle c(u)>0}$ и его решение можно построить, используя метод характеристик как прежде.^[11]

Стохастическое уравнение Бюргерса

Добавлен пространственно-временной шум ${\displaystyle \eta (x,t)}$ образует стохастическое уравнение Бюргерса^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}}$

Этот стохастический PDE является одномерной версией Уравнение Кардара – Паризи – Чжана. в поле ${\displaystyle h(x,t)}$ при замене ${\displaystyle u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x}$.

Смотрите также

• Уравнение Эйлера – Трикоми
• Уравнение Чаплыгина
• Уравнение сохранения
• Уравнение Фоккера – Планка

Рекомендации

1. Он относится к уравнению импульса Навье – Стокса с удаленным членом давления.Уравнение Бюргерса (PDF): здесь переменная скорость потока у = и
2. Это возникает из Уравнение Вестервельта с допущением о строго распространяющихся вперед волнах и использованием преобразования координат для запаздывающих временных рамок: здесь переменная - это давление
3. Бейтман, Х. (1915). Некоторые недавние исследования движения жидкостей. Ежемесячный обзор погоды, 43 (4), 163-170.
4. Уизем, Г. Б. (2011). Линейные и нелинейные волны (Том 42). Джон Вили и сыновья.
5. Бюргерс, Дж. М. (1948). Математическая модель, иллюстрирующая теорию турбулентности. В "Успехах прикладной механики" (т. 1, с. 171-199). Эльзевир.
6. Кэмерон, Мария. «ЗАМЕТКИ К УРАВНЕНИЮ БУРГЕРА» (PDF).
7. Чандрасекхар, С. (1943). "О распаде плоских ударных волн "(№ 423). Лаборатории баллистических исследований.
8. Форсайт, А. (1903). Трактат о дифференциальных уравнениях. Лондон: Макмиллан.
9. Джулиан Коул (1951). О квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике. Квартал прикладной математики, 9 (3), 225-236.
10. Эберхард Хопф (Сентябрь 1950 г.). "Уравнение в частных производных y u_т + уу_Икс = μu_хх". Сообщения по чистой и прикладной математике. 3 (3): 201–230. Дои:10.1002 / cpa.3160030302. HDL:10338.dmlcz / 102083.
11. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Vol. II.
12. Wang, W .; Робертс, А. Дж. (2015). "Диффузионное приближение для автомодельности стохастической адвекции в уравнении Бюргерса". Коммуникации по математической физике. 333: 1287–1316. Дои:10.1007 / s00220-014-2117-7.

внешняя ссылка

• Уравнение Бюргерса в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнение Бюргерса в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Уравнение Бюргерса Результаты поиска Wolfram | Alpha.