В газовая динамика, Уравнение Чаплыгина, названный в честь Сергей Алексеевич Чаплыгин (1902), является уравнение в частных производных полезно при изучении трансзвуковой поток.[1][2] это

Здесь,
это скорость звука, определяемый уравнение состояния жидкости и сохранения энергии.
Вывод
Для двумерного потенциального потока уравнение неразрывности и Уравнения Эйлера (на самом деле сжимаемое уравнение Бернулли из-за безвихрения) в декартовых координатах
с участием переменных скорости жидкости
, удельная энтальпия
и плотность
находятся

с уравнение состояния
действует как третье уравнение. Здесь
- энтальпия торможения,
- величина вектора скорости и
это энтропия. За изэнтропический потока, плотность может быть выражена как функция только энтальпии
, которое, в свою очередь, с использованием уравнения Бернулли может быть записано как
.
Поскольку поток является безвихревым, потенциал скорости
существует и его дифференциал просто
. Вместо лечения
и
в качестве зависимых переменных мы используем преобразование координат, такое что
и
становятся новыми зависимыми переменными. Аналогичным образом потенциал скорости заменяется новой функцией (Превращение Лежандра )

так что его дифференциал равен
, следовательно

Вводя другое преобразование координат для независимых переменных из
к
в соответствии с отношением
и
, куда
- величина вектора скорости и
- угол между вектором скорости и
-оси зависимые переменные становятся

Уравнение неразрывности в новых координатах принимает вид

Для изэнтропического потока
, куда
это скорость звука. Используя уравнение Бернулли, находим

куда
. Следовательно, мы имеем

Смотрите также
Рекомендации
- ^ Чаплыгин, С.А. (1902). По газовым потокам. Полное собрание сочинений. Изд. Акад. АН СССР, 2.
- ^ Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1982). Механика жидкости (2-е изд.). Pergamon Press. п. 432.