Уравнение Чаплыгина - Chaplygins equation

В газовая динамика, Уравнение Чаплыгина, названный в честь Сергей Алексеевич Чаплыгин (1902), является уравнение в частных производных полезно при изучении трансзвуковой поток.^[1][2] это

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Здесь, ${\displaystyle c=c(v)}$ это скорость звука, определяемый уравнение состояния жидкости и сохранения энергии.

Вывод

Для двумерного потенциального потока уравнение неразрывности и Уравнения Эйлера (на самом деле сжимаемое уравнение Бернулли из-за безвихрения) в декартовых координатах ${\displaystyle (x,y)}$ с участием переменных скорости жидкости ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$, удельная энтальпия ${\displaystyle h}$ и плотность ${\displaystyle \rho }$ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}}$

с уравнение состояния ${\displaystyle \rho =\rho (s,h)}$ действует как третье уравнение. Здесь ${\displaystyle h_{o}}$ - энтальпия торможения, ${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ - величина вектора скорости и ${\displaystyle s}$ это энтропия. За изэнтропический потока, плотность может быть выражена как функция только энтальпии ${\displaystyle \rho =\rho (h)}$, которое, в свою очередь, с использованием уравнения Бернулли может быть записано как ${\displaystyle \rho =\rho (v)}$.

Поскольку поток является безвихревым, потенциал скорости ${\displaystyle \phi }$ существует и его дифференциал просто ${\displaystyle d\phi =v_{x}dx+v_{y}dy}$. Вместо лечения ${\displaystyle v_{x}=v_{x}(x,y)}$ и ${\displaystyle v_{y}=v_{y}(x,y)}$ в качестве зависимых переменных мы используем преобразование координат, такое что ${\displaystyle x=x(v_{x},v_{y})}$ и ${\displaystyle y=y(v_{x},v_{y})}$ становятся новыми зависимыми переменными. Аналогичным образом потенциал скорости заменяется новой функцией (Превращение Лежандра )

${\displaystyle \Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi }$

так что его дифференциал равен ${\displaystyle d\Phi =xdv_{x}+ydv_{y}}$, следовательно

${\displaystyle x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.}$

Вводя другое преобразование координат для независимых переменных из ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$ к ${\displaystyle (v,\theta )}$ в соответствии с отношением ${\displaystyle v_{x}=v\cos \theta }$ и ${\displaystyle v_{y}=v\sin \theta }$, куда ${\displaystyle v}$ - величина вектора скорости и ${\displaystyle \theta }$ - угол между вектором скорости и ${\displaystyle v_{x}}$-оси зависимые переменные становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}}$

Уравнение неразрывности в новых координатах принимает вид

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.}$

Для изэнтропического потока ${\displaystyle dh=\rho ^{-1}c^{2}d\rho }$, куда ${\displaystyle c}$ это скорость звука. Используя уравнение Бернулли, находим

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

куда ${\displaystyle c=c(v)}$. Следовательно, мы имеем

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Смотрите также

• Уравнение Эйлера – Трикоми

Рекомендации

1. Чаплыгин, С.А. (1902). По газовым потокам. Полное собрание сочинений. Изд. Акад. АН СССР, 2.
2. Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1982). Механика жидкости (2-е изд.). Pergamon Press. п. 432.