Проблема Brocards - Brocards problem

Не путать с Гипотеза Брокара.

Нерешенная проблема в математике: Делает ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ иметь целочисленные решения, отличные от ${\displaystyle n=4,5,7}$? (больше нерешенных задач по математике)

Проблема Брокара проблема в математика который просит найти целое число ценности п и м для которого

${\displaystyle n!+1=m^{2},}$

куда п! это факториал. Это было поставлено Анри Брокар в паре статей 1876 и 1885 гг. и независимо в 1913 г. Шриниваса Рамануджан.

Коричневые числа

Пары чисел (п, м), решающие проблему Брокара, называются Коричневые числа. По состоянию на 2019 год известно всего три пары чисел Брауна:

(4,5), (5,11) и (7,71).

Пол Эрдёш предположил, что других решений не существует. Оверхольт (1993) показал, что существует лишь конечное число решений при условии, что гипотеза abc правда. Берндт и Голуэй (2000) выполнены расчеты для п до 10⁹ и не нашел дальнейших решений. Матсон (2017) увеличил его на три порядка до одного триллиона. Эпштейн и Гликман (2020) недавно расширили это число еще на три порядка до одного квадриллиона.

Варианты проблемы

Домбровский (1996) обобщил результат Оверхолта, показав, что он следует из гипотеза abc который

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

имеет только конечное число решений для любого заданного целого числа А. Этот результат был далее обобщен Лука (2002), который показал (снова в предположении abc), что уравнение

${\displaystyle n!=P(x)}$

имеет только конечное число целочисленных решений для данного многочлен п(Икс) степени не менее 2 с целыми коэффициентами.

Рекомендации

• Берндт, Брюс С.; Голуэй, Уильям Ф. (2000), "Диофантово уравнение Брокара – Рамануджана. п! + 1 = м²" (PDF), Рамануджанский журнал, 4: 41–42, Дои:10.1023 / А: 1009873805276.
• Брокар, Х. (1876 г.), «Вопрос 166», Nouv. Коррес. Математика., 2: 287.
• Брокар, Х. (1885), «Вопрос 1532», Nouv. Анна. Математика., 4: 391.
• Dabrowski, A. (1996), "О диофантовом уравнении Икс! + А = у²", Nieuw Arch. Виск., 14: 321–324.
• Эпштейн, Эндрю; Гликман, Джейкоб (2020), Репозиторий C ++ Brocard на GitHub.
• Гай, Р. К. (1994), "D25: Уравнения, включающие факториал", Нерешенные проблемы теории чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 193–194, ISBN  0-387-90593-6.
• Лука, Флориан (2002), "Диофантово уравнение п(Икс) = п! и результат М. Оверхолта " (PDF), Glasnik Matematički, 37 (57): 269–273.
• Матсон, Роберт (2017), «Поиск четвертого решения проблемы Брокара с использованием квадратичных остатков» (PDF), Нерешенные проблемы теории чисел, логики и криптографии.
• Оверхольт, Мариус (1993), "Диофантово уравнение п! + 1 = м²", Бык. Лондонская математика. Soc., 25 (2): 104, Дои:10.1112 / blms / 25.2.104.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема Брокара». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Коричневые числа". MathWorld.
• Copeland, Ed. "Коричневые числа". Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2014-11-09. Получено 2013-04-06.