Формула интерполяции Брахмагуптаса - Brahmaguptas interpolation formula

Формула интерполяции Брахмагупты является полиномом второго порядка формула интерполяции разработан Индийский математик и астроном Брахмагупта (598–668 CE ) в начале 7 века CE. В санскрит куплет, описывающий формулу, можно найти в дополнительной части Хандакадьяка работа Брахмагупта завершено в 665 году н.э.^[1] Такой же двустиший появляется у Брахмагупты. Дхьяна-граха-адхикара, которое, вероятно, было написано «в начале второй четверти VII века н.э., если не раньше».^[1] Брахмагупта был одним из первых, кто описал и использовал формула интерполяции с использованием второго порядка различия.^[2][3]

Интерполяционная формула Брахмагупы эквивалентна современной формуле Ньютона – Стирлинга второго порядка. формула интерполяции.

Предварительные мероприятия

Учитывая набор табличных значений функции ж(Икс) в приведенной ниже таблице пусть требуется вычислить значение ж(а), Икс_р < а < Икс_р+1.

Икс	Икс1	Икс2	...	Икср	Икср+1	Икср+2	...	Иксп
ж(Икср)	ж1	ж2	...	жр	жр+1	жр+2	...	жп

Предполагая, что последовательно табулированные значения Икс равномерно распределены с общим интервалом час, Арьябхата рассмотрел таблицу первых отличий таблицы значений функции. Письмо

${\displaystyle D_{r}=f_{r+1}-f_{r}}$

можно составить следующую таблицу:

Икс	Икс2	...	Икср	Икср+1	...	Иксп
Отличия	D1	...	Dр	Dр+1	...	Dп

Математики до Брахмагупты использовали простой линейная интерполяция формула. Формула линейной интерполяции для вычисления ж(а) является

${\displaystyle f(a)=f_{r}+tD_{r}}$ куда ${\displaystyle t={\frac {a-x_{r}}{h}}}$.

Для вычисления ж(а), Брахмагупта заменяет D_р с другим выражением, которое дает более точные значения и которое сводится к использованию формулы интерполяции второго порядка.

Описание схемы Брахмагуптой

По терминологии Брахмагупты разница D_р это гатакханда, смысл прошлое различие или разница, которая была перечеркнута, разница D_р+1 это бхогьякханда какой разница еще впереди. Викала - количество минут, на которое был пройден интервал в точке, где мы хотим интерполировать. В настоящих обозначениях это а − Икс_р. Новое выражение, заменяющее ж_р+1 − ж_р называется спхута-бхогьякханда. Описание спхута-бхогьякханда содержится в следующем санскритском двустишии (Дхьяна-Граха-Упадеша-Адхьяя, 17; Хандака Хадяка, IX, 8):^[1]

^{[требуется разъяснение (нужен текст)]}

Это было переведено с использованием комментария Бхаттолпалы (10 век н.э.) следующим образом:^[1][4]

Умножьте викала на половину разницы гатакханда и бхогьякханда и разделите произведение на 900. Добавьте результат к половине суммы гатакханда и бхогьякханда если их полусумма меньше бхогьякханда, вычтите, если больше. (Результат в каждом случае спхута-бхогьякханда правильная табличная разница.)

Эта формула была первоначально указана для вычисления значений синусоидальной функции, для которых общий интервал в базовой таблице составлял 900 минут или 15 градусов. Таким образом, ссылка на 900 на самом деле является ссылкой на общий интервал час.

В современных обозначениях

Метод Брахмагупты вычисление Shutabhogyakhanda в современных обозначениях можно сформулировать следующим образом:

спхута-бхогьякханда ${\displaystyle \displaystyle ={\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}\pm t{\frac {|D_{r}-D_{r-1}|}{2}}.}$

В ± знак следует принимать в зависимости от того, 1/2(D_р + D_р+1) меньше или больше чем D_р+1, или, что эквивалентно, в зависимости от того, D_р < D_р+1 или же D_р > D_р+1. Выражение Брахмагупты можно представить в следующей форме:

спхута-бхогьякханда ${\displaystyle \displaystyle ={\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.}$

Этот поправочный коэффициент дает следующее приблизительное значение для ж(а):

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a)&=f_{r}+t\times {\text{sphuta-bhogyakhanda}}\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}}$

Это Стирлинга формула интерполяции усекается при разностях второго порядка.^[5][6] Неизвестно, как Брахмагупта пришел к своей формуле интерполяции.^[1] Брахмагупта дал отдельную формулу для случая, когда значения независимой переменной расположены неравномерно.

Смотрите также

• Личность Брахмагупты
• Матрица брахмагупты
• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи

Рекомендации

1. Гупта, Р. К. "Интерполяция второго порядка в индийской математике до пятнадцатого века". Индийский журнал истории науки. 4 (1 & 2): 86–98.
2. Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии. Издательство Принстонского университета. п. 329. ISBN  9780691129730. (стр.111)
3. Мейеринг, Эрик (март 2002 г.). «Хронология интерполяции от древней астрономии до современной обработки сигналов и изображений». Труды IEEE. 90 (3): 319–321. Дои:10.1109/5.993400.
4. Раджу, К. К. (2007). Культурные основы математики: природа математического доказательства и передача исчисления из Индии в Европу в XVI в. CE. Pearson Education India. С. 138–140. ISBN  9788131708712.
5. Милн-Томсон, Луи Мелвилл (2000). Исчисление конечных разностей. AMS Chelsea Publishing. С. 67–68. ISBN  9780821821077.
6. Хильдебранд, Фрэнсис Бегно (1987). Введение в численный анализ. Courier Dover Publications. стр.138–139. ISBN  9780486653631.