Коробчатая топология - Box topology

В топология, то декартово произведение из топологические пространства можно задать несколько различных топологий. Один из наиболее очевидных вариантов - коробчатая топология, где основание задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах.[1] Другая возможность - это топология продукта, где база задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах, только конечное число которых может не равняться всему компонентному пространству.

Хотя блочная топология имеет несколько более интуитивное определение, чем топология продукта, она удовлетворяет меньшему количеству желаемых свойств. В частности, если все компоненты пространства компактный, блочная топология в их декартовом произведении не обязательно будет компактной, хотя топология произведения в их декартовом произведении всегда будет компактной. В целом, коробчатая топология тоньше чем топология продукта, хотя они согласны в случае конечный прямые продукты (или когда все факторы, кроме конечного, банальный ).

Определение

Данный такой, что

или (возможно, бесконечное) декартово произведение топологических пространств , индексированный к , то коробчатая топология на генерируется основание

Название коробка происходит из случая рп, в которых базисные наборы выглядят как коробки.

Характеристики

Коробчатая топология на рω:[2]

Пример - нарушение непрерывности

Следующий пример основан на Куб Гильберта. Позволять рω обозначим счетное декартово произведение р с самим собой, т.е. совокупность всех последовательности в р. Оборудовать р с стандартная топология и рω с коробчатой ​​топологией. Определять:

Таким образом, все функции компонентов идентичны и, следовательно, непрерывны, однако мы покажем ж не является непрерывным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим открытый набор

Предполагать ж были непрерывными. Тогда, поскольку:

должно существовать такой, что Но это означало бы, что

что неверно, так как за Таким образом ж не является непрерывным, хотя все его составляющие функции являются непрерывными.

Пример - нарушение компактности

Рассмотрим счетное произведение где для каждого я, с дискретной топологией. Коробчатая топология на также будет дискретная топология. Поскольку дискретные пространства компактны тогда и только тогда, когда они конечны, мы сразу видим, что не является компактным, хотя его компоненты пространства.

также не является секвенциально компактным: рассмотрим последовательность данный

Поскольку в последовательности нет двух одинаковых точек, последовательность не имеет предельной точки и, следовательно, не является последовательно компактным.

Сходимость в топологии коробки

Топологии часто лучше всего понять, описывая, как сходятся последовательности. В общем, декартово произведение пространства с собой над набор для индексации в точности пространство функций из к , обозначенный . Топология продукта дает топологию поточечная сходимость; последовательности функций сходятся тогда и только тогда, когда они сходятся в каждой точке .

Поскольку блочная топология более тонкая, чем топология продукта, сходимость последовательности в блочной топологии является более строгим условием. Предполагая хаусдорфова, последовательность функций в сходится в блочной топологии к функции тогда и только тогда, когда он поточечно сходится к и существует конечное подмножество и есть такой, что для всех последовательность в постоянно для всех . Другими словами, последовательность в конечном итоге постоянна почти для всех и единообразно.[3]

Сравнение с топологией продукта

Базисные наборы в топологии продукта имеют почти то же определение, что и выше, Кроме с квалификацией, что все, кроме конечного множества Uя равны компонентному пространству Икся. Топология продукта удовлетворяет очень желаемому свойству для карт. жя : YИкся в пространства компонентов: карта продукта ж: YИкс определяется функциями компонентов жя является непрерывный если и только если все жя непрерывны. Как показано выше, это не всегда выполняется в блочной топологии. Это фактически делает блочную топологию очень полезной для предоставления контрпримеры - многие качества, такие как компактность, связность, метризуемость и т. д., если им обладают фактор-пространства, в общем случае не сохраняются в произведении с этой топологией.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Уиллард, 8.2, с. 52–53,
  2. ^ Steen, Seebach, 109. pp. 128–129.
  3. ^ Скотт, Брайан М. «Разница между поведением последовательности и функции в топологии продукта и коробки в одном и том же наборе». math.stackexchange.com.

Рекомендации

внешняя ссылка