Коробчатая топология - Box topology

В топология, то декартово произведение из топологические пространства можно задать несколько различных топологий. Один из наиболее очевидных вариантов - коробчатая топология, где основание задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах.^[1] Другая возможность - это топология продукта, где база задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах, только конечное число которых может не равняться всему компонентному пространству.

Хотя блочная топология имеет несколько более интуитивное определение, чем топология продукта, она удовлетворяет меньшему количеству желаемых свойств. В частности, если все компоненты пространства компактный, блочная топология в их декартовом произведении не обязательно будет компактной, хотя топология произведения в их декартовом произведении всегда будет компактной. В целом, коробчатая топология тоньше чем топология продукта, хотя они согласны в случае конечный прямые продукты (или когда все факторы, кроме конечного, банальный ).

Определение

Данный ${\displaystyle X}$ такой, что

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

или (возможно, бесконечное) декартово произведение топологических пространств ${\displaystyle X_{i}}$, индексированный к ${\displaystyle i\in I}$, то коробчатая топология на ${\displaystyle X}$ генерируется основание

${\displaystyle B=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}.}$

Название коробка происходит из случая р^п, в которых базисные наборы выглядят как коробки.

Характеристики

Коробчатая топология на р^ω:^[2]

• Коробчатая топология полностью обычный
• Коробчатая топология не соответствует компактный ни связаны
• Коробчатая топология не первый счетный (следовательно, не метризуемый )
• Коробчатая топология не отделяемый
• Коробчатая топология паракомпакт (а значит, нормальный и вполне регулярный), если гипотеза континуума правда

Пример - нарушение непрерывности

Следующий пример основан на Куб Гильберта. Позволять р^ω обозначим счетное декартово произведение р с самим собой, т.е. совокупность всех последовательности в р. Оборудовать р с стандартная топология и р^ω с коробчатой ​​топологией. Определять:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}}$

Таким образом, все функции компонентов идентичны и, следовательно, непрерывны, однако мы покажем ж не является непрерывным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим открытый набор

${\displaystyle U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right).}$

Предполагать ж были непрерывными. Тогда, поскольку:

${\displaystyle f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,}$

должно существовать ${\displaystyle \varepsilon >0}$ такой, что ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).}$ Но это означало бы, что

${\displaystyle f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,}$

что неверно, так как ${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{2}}>{\tfrac {1}{n}}}$ за ${\displaystyle n>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.}$ Таким образом ж не является непрерывным, хотя все его составляющие функции являются непрерывными.

Пример - нарушение компактности

Рассмотрим счетное произведение ${\displaystyle X=\prod X_{i}}$ где для каждого я, ${\displaystyle X_{i}=\{0,1\}}$ с дискретной топологией. Коробчатая топология на ${\displaystyle X}$ также будет дискретная топология. Поскольку дискретные пространства компактны тогда и только тогда, когда они конечны, мы сразу видим, что ${\displaystyle X}$ не является компактным, хотя его компоненты пространства.

${\displaystyle X}$ также не является секвенциально компактным: рассмотрим последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ данный

${\displaystyle (x_{n})_{m}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}}$

Поскольку в последовательности нет двух одинаковых точек, последовательность не имеет предельной точки и, следовательно, ${\displaystyle X}$ не является последовательно компактным.

Сходимость в топологии коробки

Топологии часто лучше всего понять, описывая, как сходятся последовательности. В общем, декартово произведение пространства ${\displaystyle X}$ с собой над набор для индексации ${\displaystyle S}$ в точности пространство функций из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle X}$, обозначенный ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$. Топология продукта дает топологию поточечная сходимость; последовательности функций сходятся тогда и только тогда, когда они сходятся в каждой точке ${\displaystyle S}$.

Поскольку блочная топология более тонкая, чем топология продукта, сходимость последовательности в блочной топологии является более строгим условием. Предполагая ${\displaystyle X}$ хаусдорфова, последовательность ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ функций в ${\displaystyle X^{S}}$ сходится в блочной топологии к функции ${\displaystyle f\in X^{S}}$ тогда и только тогда, когда он поточечно сходится к ${\displaystyle f}$ и существует конечное подмножество ${\displaystyle S_{0}\subset S}$ и есть ${\displaystyle N}$ такой, что для всех ${\displaystyle n>N}$ последовательность ${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$ в ${\displaystyle X}$ постоянно для всех ${\displaystyle s\in S\setminus S_{0}}$. Другими словами, последовательность ${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$ в конечном итоге постоянна почти для всех ${\displaystyle s}$ и единообразно.^[3]

Сравнение с топологией продукта

Базисные наборы в топологии продукта имеют почти то же определение, что и выше, Кроме с квалификацией, что все, кроме конечного множества U_я равны компонентному пространству Икс_я. Топология продукта удовлетворяет очень желаемому свойству для карт. ж_я : Y → Икс_я в пространства компонентов: карта продукта ж: Y → Икс определяется функциями компонентов ж_я является непрерывный если и только если все ж_я непрерывны. Как показано выше, это не всегда выполняется в блочной топологии. Это фактически делает блочную топологию очень полезной для предоставления контрпримеры - многие качества, такие как компактность, связность, метризуемость и т. д., если им обладают фактор-пространства, в общем случае не сохраняются в произведении с этой топологией.

Смотрите также

• Набор цилиндров
• Список топологий

Примечания

1. Уиллард, 8.2, с. 52–53,
2. Steen, Seebach, 109. pp. 128–129.
3. Скотт, Брайан М. «Разница между поведением последовательности и функции в топологии продукта и коробки в одном и том же наборе». math.stackexchange.com.

Рекомендации

• Стин, Линн А. и Seebach, J. Arthur Jr.; Контрпримеры в топологии, Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN  0030794854.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Dover Publications. ISBN  0-486-43479-6.

внешняя ссылка

• «Коробчатая топология». PlanetMath.