Интерполяция Биркгофа - Birkhoff interpolation

В математика, Интерполяция Биркгофа является продолжением полиномиальная интерполяция. Это относится к проблеме нахождения многочлена п степени d такой, что некоторые производные имеют указанные значения в указанных точках:

{ displaystyle p ^ {(n_ {i})} (x_ {i}) = y_ {i} qquad { mbox {for}} i = 1, ldots, d,}

где точки данных ${ Displaystyle (х_ {я}, у_ {я})}$ и неотрицательные целые числа ${ displaystyle n_ {i}}$ даны. Он отличается от Эрмита интерполяция в том, что можно указать производные от п в некоторых точках без указания младших производных или самого многочлена. Название относится к Джордж Дэвид Биркофф, который первым изучил проблему в Биркгоф (1906).

Существование и уникальность решений

В отличие от Интерполяция Лагранжа и Эрмита интерполяция, интерполяционная задача Биркгофа не всегда имеет однозначное решение. Например, не существует квадратичного многочлена ${ displaystyle textstyle p}$ такой, что ${ displaystyle textstyle p (-1) = p (1) = 0}$ и ${ displaystyle textstyle p '(0) = 1}$ . С другой стороны, проблема интерполяции Биркгофа, где значения ${ displaystyle textstyle p '(- 1)}$ , ${ displaystyle textstyle p (0)}$ и ${ displaystyle textstyle p '(1)}$ даны всегда имеет единственное решение (Пассов 1983 ).

Важной проблемой теории интерполяции Биркгофа является классификация тех задач, которые имеют единственное решение. Шенберг (1966) формулирует проблему следующим образом. Позволять d обозначим количество условий (как выше) и пусть k - количество точек интерполяции. Учитывая d-к-k матрица E, все элементы которого равны 0 или 1, так что ровно d записи равны 1, то соответствующая задача состоит в том, чтобы определить п такой, что

{ displaystyle p ^ {(j)} (x_ {i}) = y_ {i, j} qquad { text {для всех}} (i, j) { text {with}} e_ {ij} = 1.}

Матрица E называется матрицей инцидентности. Например, матрицы инцидентности для задач интерполяции, упомянутых в предыдущем абзаце, следующие:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 end {bmatrix}} quad { text {and}} quad { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix }}.}

Теперь возникает вопрос: имеет ли проблема интерполяции Биркгофа с заданной матрицей инцидентности единственное решение для любого выбора точек интерполяции?

Случай с k = 2 точки интерполяции были обработаны Поля (1931). Позволять S_м обозначают сумму записей в первом м столбцы матрицы инцидентности:

{ displaystyle S_ {m} = sum _ {i = 1} ^ {k} sum _ {j = 1} ^ {m} e_ {ij}.}

Тогда интерполяционная задача Биркгофа с k = 2 имеет единственное решение тогда и только тогда, когда S_м ≥ м для всех м. Шенберг (1966) показал, что это необходимое условие для всех значений k.

Интерполяция Биркгофа - Birkhoff interpolation

Существование и уникальность решений

Рекомендации