Лемма Бхаскара - Bhaskaras lemma

Бхаскара Лемма это идентичность, используемая как лемма вовремя метод чакравалы. В нем говорится, что:

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}}$

для целых чисел ${\displaystyle m,\,x,\,y,\,N,}$ и ненулевое целое число ${\displaystyle k}$.

Доказательство

Доказательство следует из простых алгебраических манипуляций следующим образом: умножьте обе части уравнения на ${\displaystyle m^{2}-N}$, Добавить ${\displaystyle N^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}}$, множитель и разделите на ${\displaystyle k^{2}}$.

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies Nm^{2}x^{2}-N^{2}x^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}-Ny^{2}}$

${\displaystyle \implies Nm^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}+2Nmxy+N^{2}x^{2}}$

${\displaystyle \implies N(mx+y)^{2}+k(m^{2}-N)=(my+Nx)^{2}}$

${\displaystyle \implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}.}$

Пока ни ${\displaystyle k}$ ни ${\displaystyle m^{2}-N}$ равны нулю, импликация идет в обоих направлениях. (Лемма верна для действительных или комплексных чисел, а также для целых.)

Рекомендации

• Ч. О. Селениус, «Обоснование чакравального процесса Джаядевы и Бхаскары II», Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
• К. О. Селениус, Kettenbruch Theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, Acta Acad. Або. Математика. Phys. 23 (10) (1963).
• Джордж Гевергезе Джозеф, Герб Павлина: неевропейские корни математики (1975).

внешняя ссылка

• Введение в чакравалу