Парадокс Бертрана (вероятность) - Bertrand paradox (probability)

О других парадоксах Джозефа Бертрана см. Парадокс Бертрана (значения).

В Парадокс Бертрана это проблема внутри классическая интерпретация из теория вероятности. Джозеф Бертран представил это в своей работе Calcul des probabilités (1889),[1] в качестве примера, чтобы показать, что принцип безразличия может не дать определенных, четко определенных результатов для вероятностей, если он применяется некритически, когда область возможностей бесконечна.[2]

Бертран постановка проблемы

Парадокс Бертрана обычно представляется следующим образом:[3] Рассмотрим равносторонний треугольник вписанный в круг. Предположим, что аккорд круга выбирается случайным образом. Какова вероятность того, что хорда длиннее стороны треугольника?

Бертран привел три аргумента (каждый из которых использует принцип безразличия), все они, по-видимому, действительны, но дают разные результаты:

  1. Случайные аккорды, метод выбора 1; красный = длиннее стороны треугольника, синий = короче
    Метод «случайных конечных точек»: выберите две случайные точки на окружности круга и нарисуйте соединяющую их хорду. Чтобы вычислить рассматриваемую вероятность, представьте, что треугольник повернут так, что его вершина совпадает с одним из концов хорды. Обратите внимание: если другая конечная точка хорды лежит на дуге между конечными точками стороны треугольника, противоположной первой точке, хорда длиннее стороны треугольника. Длина дуги составляет одну треть окружности круга, поэтому вероятность того, что случайная хорда длиннее, чем сторона вписанного треугольника, равна 1/3.
  2. Случайные аккорды, метод выбора 2
    Метод «случайной радиальной точки»: выберите радиус окружности, выберите точку на радиусе и постройте хорду через эту точку и перпендикуляр к радиусу. Чтобы вычислить рассматриваемую вероятность, представьте, что треугольник повернут так, чтобы сторона перпендикуляр к радиусу. Хорда длиннее стороны треугольника, если выбранная точка находится ближе к центру круга, чем точка, в которой сторона треугольника пересекает радиус. Сторона треугольника делит радиус пополам, поэтому вероятность того, что случайная хорда длиннее, чем сторона вписанного треугольника, равна 1/2.
  3. Случайные аккорды, метод выбора 3
    Метод «случайной средней точки»: выберите точку в любом месте круга и постройте хорду с выбранной точкой в ​​качестве ее середины. Хорда длиннее стороны вписанного треугольника, если выбранная точка попадает в концентрическую окружность радиуса. 1/2 радиус большего круга. Площадь меньшего круга составляет одну четвертую площади большего круга, поэтому вероятность случайного хорды длиннее, чем сторона вписанного треугольника, равна 1/4.

Эти три метода выбора различаются по весу, который они придают аккордам, которые диаметры. Этой проблемы можно избежать путем «регуляризации» проблемы, чтобы исключить диаметры, не влияя на результирующие вероятности.[3] Но, как показано выше, в методе 1 каждая хорда может быть выбрана ровно одним способом, независимо от того, является ли она диаметром или нет; в методе 2 каждый диаметр может быть выбран двумя способами, тогда как каждая другая хорда может быть выбрана только одним способом; и в методе 3 каждый выбор средней точки соответствует одной хорде, за исключением центра круга, который является серединой всех диаметров.

Диаграммы рассеяния, показывающие смоделированные распределения Бертрана,
Средние точки / аккорды, выбранные случайным образом одним из трех способов.[нужна цитата ]

Середины аккордов, выбранных случайным образом методом 1
Середины аккордов, выбранных случайным образом методом 2
Середины аккордов, выбранных случайным образом методом 3
Случайно выбранные аккорды, метод 1
Случайно выбранные аккорды, метод 2
Случайно выбранные аккорды, метод 3

Легко представить себе другие методы выбора средних точек и аккордов; многие порождают распределения с разным соотношением хорд, которые длиннее стороны вписанного треугольника.[нужна цитата ]

Классическое решение

Классическое решение проблемы (представленное, например, в собственной работе Бертрана) зависит от метода, с помощью которого хорда выбирается «наугад».[3] Аргумент состоит в том, что если указан метод случайного выбора, проблема будет иметь четкое решение (определяемое по принципу безразличия). Три решения, представленные Бертраном, соответствуют различным методам отбора, и при отсутствии дополнительной информации нет причин отдавать предпочтение одному перед другим; соответственно, указанная проблема не имеет однозначного решения.[4] Этот и другие парадоксы классической интерпретации вероятности оправдывали более строгие формулировки, в том числе частотная вероятность и субъективист Байесовская вероятность.[нужна цитата ]

Решение Джейнса с использованием принципа «максимального незнания»

В своей статье 1973 г. «Хорошо поставленная проблема»[5] Эдвин Джейнс предложил решение парадокса Бертрана, основанное на принципе «максимального незнания» - что мы не должны использовать какую-либо информацию, которая не указана в постановке проблемы. Джейнс указал, что проблема Бертрана не определяет положение или размер круга, и утверждал, что поэтому любое определенное и объективное решение должно быть «безразличным» к размеру и положению. Другими словами: решение должно быть как масштаб и перевод инвариантный.

Для иллюстрации: предположим, что хорды случайным образом уложены на круг диаметром 2, скажем, бросив на него соломку издалека и преобразовав их в хорды путем расширения / ограничения. Теперь еще один круг меньшего диаметра (например, 1.1) накладывается на больший круг. Тогда распределение хорд на этом меньшем круге должно быть таким же, как и ограниченное распределение хорд на большем круге (опять же с использованием расширения / ограничения образующих соломок). Таким образом, если меньший круг перемещается внутри большего круга, ограниченное распределение не должно измениться. Очень легко увидеть, что в методе 3 будут изменения: распределение хорды на маленьком красном кружке выглядит качественно иначе, чем распределение на большом кружке:

Bertrand3-translate ru.svg

То же самое происходит с методом 1, хотя его труднее увидеть в графическом представлении. Метод 2 - единственный, который инвариантен как к масштабу, так и к инвариантному перемещению; метод 3 просто инвариантен к масштабу, метод 1 - нет.

Однако Джейнс не просто использовал инварианты, чтобы принять или отклонить данные методы: это оставило бы возможность того, что существует еще один еще не описанный метод, который отвечал бы его критериям здравого смысла. Джейнс использовал интегральные уравнения, описывающие инварианты, для непосредственного определения распределения вероятностей. В этой задаче интегральные уравнения действительно имеют единственное решение, и это именно то, что было названо выше "методом 2", случайный радиус метод.

В статье 2015 г.[3] Алон Дрори утверждал, что принцип Джейнса также может дать два других решения Бертрана. Дрори утверждает, что математическая реализация вышеуказанных свойств инвариантности не уникальна, а зависит от используемой процедуры случайного выбора (как упоминалось выше, Джейнс использовал метод метания соломинок для выбора случайных аккордов). Он показывает, что каждое из трех решений Бертрана может быть получено с использованием инвариантности вращения, масштабирования и трансляции, делая вывод, что принцип Джейнса так же подлежит интерпретации, как и принцип безразличия сам.

Например, мы можем бросить дротик в круг и нарисовать хорду с выбранной точкой в ​​качестве центра. Тогда уникальное распределение, инвариантное к сдвигу, вращению и масштабированию, называется "методом 3" выше.

Аналогично, «метод 1» - это уникальное инвариантное распределение для сценария, в котором счетчик используется для выбора одной конечной точки хорды, а затем снова используется для выбора ориентации хорды. Здесь рассматриваемая инвариантность состоит из вращательной инвариантности для каждого из двух спинов. Это также уникальное распределение, инвариантное к масштабу и вращению, для сценария, когда стержень помещается вертикально над точкой на окружности круга и позволяет ему упасть в горизонтальное положение (при условии, что он частично приземлится внутри круга).

Физические эксперименты

«Метод 2» - единственное решение, которое выполняет инварианты преобразования, которые присутствуют в определенных физических системах, таких как статистическая механика и физика газа, в частном случае предложенного Джейнсом эксперимента по бросанию соломинок с расстояния на маленький круг. Тем не менее, можно разработать другие практические эксперименты, которые дадут ответы в соответствии с другими методами. Например, чтобы прийти к решению «метода 1», случайные конечные точки метода, можно прикрепить вертушку к центру круга и позволить результатам двух независимых вращений отмечать конечные точки хорды. Чтобы прийти к решению «метода 3», можно покрыть круг патокой и отметить первую точку, на которую приземляется муха, как середину хорды.[6] Несколько наблюдателей разработали эксперименты для получения различных решений и подтвердили результаты эмпирически.[7][8][3]

Недавние улучшения

В своей статье 2007 года «Парадокс Бертрана и принцип безразличия»,[2]Николас Шакель утверждает, что спустя более века парадокс остается нерешенным, и продолжает опровергать принцип безразличия.

Шакель[2] подчеркивает, что до сих пор в попытках разрешить парадокс Бертрана в основном использовались два разных подхода: различие между неэквивалентными проблемами, и те, где проблема предполагалась хорошо поставленный один. Шакель цитирует Луи Маринова[4]как типичный представитель стратегия отличия, и Эдвин Джейнс[5] как типичный представитель удачная стратегия.

Однако в недавней работе «Решение сложной проблемы парадокса Бертрана»[9]Дидерик Аэртс и Массимилиано Сассоли де Бьянки считают, что для разрешения парадокса Бертрана необходима смешанная стратегия. По мнению этих авторов, сначала необходимо устранить неоднозначность проблемы, очень четко указав природу объекта, который подвергается рандомизации, и только после того, как это будет сделано, проблема может считаться правильно поставленной, в смысле Джейнса, так что принцип максимальное незнание можно использовать для ее решения. С этой целью, и поскольку проблема не указывает, как должен быть выбран аккорд, этот принцип должен применяться не на уровне различных возможных вариантов выбора аккорда, а на гораздо более глубоком уровне различных возможных вариантов. способы выбора аккорд. Это требует расчета мета-среднего по всем возможным способам выбора аккорда, которые авторы называют универсальный средний. Чтобы справиться с этим, они используют метод дискретизации, вдохновленный тем, что сделано при определении вероятностного закона в Винеровские процессы. Полученный ими результат согласуется с численным результатом Джейнса, хотя их хорошо поставленная задача отличается от проблемы Джейнса.

Заметки

  1. ^ Бертран, Жозеф (1889), "Calcul des probabilités ", Готье-Виллар, п. 5-6.
  2. ^ а б c Шакель, Н. (2007), «Парадокс Бертрана и принцип безразличия» (PDF), Философия науки, 74 (2): 150–175, Дои:10.1086/519028
  3. ^ а б c d е Дрори, Алон (2015), «Неудача и использование принципа групп трансформации Джейнса», Основы физики, 45 (4): 439–460, arXiv:1503.09072, Bibcode:2015ФоФ ... 45..439Д, Дои:10.1007 / s10701-015-9876-7
  4. ^ а б Маринов, Л. (1994), "Разрешение парадокса Бертрана", Философия науки, 61: 1–24, Дои:10.1086/289777
  5. ^ а б Джейнс, Э. Т. (1973), «Хорошо поставленная задача» (PDF), Основы физики, 3 (4): 477–493, Bibcode:1973FoPh .... 3..477J, Дои:10.1007 / BF00709116
  6. ^ Гарднер, Мартин (1987), Вторая книга журнала Scientific American, посвященная математическим головоломкам и решениям, Издательство Чикагского университета, стр.223–226, ISBN  978-0-226-28253-4
  7. ^ Тисслер, П. (Март 1984 г.), «Парадокс Бертрана», Математический вестник, Математическая ассоциация, 68 (443): 15–19, Дои:10.2307/3615385, JSTOR  3615385
  8. ^ Кац, Марк (Май – июнь 1984 г.), «Маргиналии: больше о случайности», Американский ученый, 72 (3): 282–283
  9. ^ Аэртс, Д. И Сассоли де Бьянки, М. (2014), «Решение сложной проблемы парадокса Бертрана», Журнал математической физики, 55 (8): 083503, arXiv:1403.4139, Bibcode:2014JMP .... 55х3503А, Дои:10.1063/1.4890291

дальнейшее чтение

внешние ссылки