Поведенческое моделирование - Behavioral modeling

Не путать с Модель поведения.

Поведенческий подход к теория систем и теория управления был инициирован в конце 1970-х годов Дж. К. Виллемс в результате устранения несоответствий, присутствующих в классических подходах, основанных на представлениях пространства состояний, передаточной функции и свертки. Этот подход также мотивирован целью получения общей основы для системного анализа и контроля, которая уважает лежащие в основе физика.

Главный объект в поведенческой установке - это поведение - набор всех сигналов, совместимых с системой. Важной особенностью поведенческого подхода является то, что он не различает приоритеты между входными и выходными переменными. Поведенческий подход не только поставил теорию систем и контроль на строгую основу, но и объединил существующие подходы и принес новые результаты. управляемость для nD систем, управление через межсоединение,^[1] и идентификация системы.^[2]

Динамическая система как совокупность сигналов

В поведенческой среде динамическая система представляет собой тройную

${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

куда

• ${\displaystyle \mathbb {T} \subseteq \mathbb {R} }$ это «набор времени» - периоды времени, в течение которых система развивается,
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$ является «сигнальным пространством» - набором, в котором переменные, эволюция которых моделируется во времени, принимают свои значения, и
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ «поведение» - набор сигналов, которые совместимы с законами системы.

(${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ обозначает множество всех сигналов, т.е. функций из ${\displaystyle \mathbb {T} }$ в ${\displaystyle \mathbb {W} }$).

${\displaystyle w\in {\mathcal {B}}}$ Значит это ${\displaystyle w}$ - траектория системы, а ${\displaystyle w\notin {\mathcal {B}}}$ означает, что законы системы запрещают траекторию ${\displaystyle w}$ произойдет. Перед моделированием явления каждый сигнал в ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ считается возможным, а после моделирования только результаты в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ остаются как возможности.

Особые случаи:

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$ - системы непрерывного времени
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$ - системы с дискретным временем
• ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$ - большинство физических систем
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$ конечное множество - дискретные системы событий

Линейные инвариантные во времени дифференциальные системы

Свойства системы определяются в терминах поведения. Система ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$ как говорят

• "линейный", если ${\displaystyle \mathbb {W} }$ - векторное пространство и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ является линейным подпространством в ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$,
• "не зависящий от времени", если набор времени состоит из действительных или натуральных чисел и

${\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ для всех ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$,

куда ${\displaystyle \sigma ^{t}}$ обозначает ${\displaystyle t}$-сдвиг, определяемый

${\displaystyle \sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$.

В этих определениях линейность формулирует закон суперпозиции, в то время как временная инвариантность артикулирует, что сдвиг во времени правовой траектории, в свою очередь, является правовой траекторией.

«Линейная инвариантная во времени дифференциальная система» - это динамическая система ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$ чье поведение ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ является системой решений системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$, куда ${\displaystyle R}$ это матрица многочленов с действительными коэффициентами. Коэффициенты при ${\displaystyle R}$ параметры модели. Чтобы определить соответствующее поведение, нам нужно указать, когда мы рассматриваем сигнал ${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$ быть решением ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$. Для простоты изложения часто рассматриваются бесконечные дифференцируемые решения. Есть и другие возможности, например, принятие решений по распределению или решений в ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$, и с обыкновенными дифференциальными уравнениями, интерпретируемыми в смысле распределений. Определяемое поведение

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \}.}$

Этот конкретный способ представления системы называется «ядерным представлением» соответствующей динамической системы. Есть много других полезных представлений того же поведения, включая передаточную функцию, пространство состояний и свертку.

Доступные источники, касающиеся поведенческого подхода, см. ^[3].^[4]

Наблюдаемость скрытых переменных

Ключевой вопрос поведенческого подхода заключается в том, можно ли вывести величину w1 из наблюдаемой величины w2 и a модель. Если w1 может быть выведено из w2 и модели, w2 называется наблюдаемый. С точки зрения математического моделирования, вычисляемая величина или Переменная часто называют скрытая переменная а наблюдаемая переменная - это явная переменная. Такая система в таком случае называется системой наблюдаемых (скрытых переменных).

Рекомендации

1. Дж. К. Виллемс О взаимосвязях, управлении и обратной связи Транзакции IEEE об автоматическом управлении Том 42, страницы 326-339, 1997 Доступно в Интернете http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/1997.4.pdf
2. И. Марковский, Дж. К. Виллемс, Б. Де Моор и С. Ван Хаффель. Точное и приближенное моделирование линейных систем: поведенческий подход. Монография 13 в «Математическом моделировании и вычислениях», SIAM, 2006. Доступно онлайн. http://homepages.vub.ac.be/~imarkovs/siam-book.pdf
3. Дж. Полдерман и Дж. К. Виллемс. «Введение в математическую теорию систем и управления». Springer-Verlag, New York, 1998, xxii + 434 с. Доступно в Интернете http://wwwhome.math.utwente.nl/~poldermanjw/onderwijs/DISC/mathmod/book.pdf.
4. Дж. К. Виллемс. Поведенческий подход к открытым и взаимосвязанным системам: моделирование путем разрыва, масштабирования и связывания. "Control Systems Magazine", 27: 46–99, 2007. Доступно онлайн. http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/2007.1.pdf.

Дополнительные источники

• Паоло Раписарда и Ян Виллемс, 2006 г. Последние изменения в теории поведенческих систем, 24–28 июля 2006 г., MTNS 2006, Киото, Япония
• Дж. К. Виллемс. Терминалы и порты. Журнал IEEE Circuits and Systems Magazine, том 10, выпуск 4, страницы 8–16, декабрь 2010 г.
• Дж. К. Виллемс и Г. Л. Трентельман. О квадратичных дифференциальных формах. Журнал SIAM по контролю и оптимизации, том 36, страницы 1702-1749, 1998
• Дж. К. Виллемс. Парадигмы и загадки теории динамических систем. IEEE Transactions on Automatic Control Volume 36, страницы 259-294, 1991
• Дж. К. Виллемс. Модели для динамики. Отчет о динамике, том 2, страницы 171-269, 1989 г.