Гипотеза Била - Beal conjecture

В Гипотеза Била следующее догадка в теория чисел:

Нерешенная проблема в математике: Верна ли гипотеза Била? (больше нерешенных задач по математике)

Если

${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z},}$

куда А, B, C, Икс, у, и z ненулевые целые числа с Икс, у, z ≥ 3, то А, B, и C иметь общий главный фактор.

Эквивалентно,

Уравнение ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ не имеет решений в ненулевых целых и попарно взаимно простых целых числах А, Б, В если х, у, г ≥ 3.

Гипотеза была сформулирована в 1993 г. Эндрю Бил, банкир и математик-любитель, исследуя обобщения из Последняя теорема Ферма.^[1][2] С 1997 г. Бил предлагал денежную премию за рецензируемое доказательство этой гипотезы или контрпример.^[3] Стоимость приза увеличилась в несколько раз и на данный момент составляет 1 миллион долларов.^[4]

В некоторых публикациях эту гипотезу иногда называют обобщенным уравнением Ферма:^[5] гипотеза Молдина,^[6] и гипотеза Тейдемана-Загира.^[7][8][9]

Связанные примеры

Чтобы проиллюстрировать, решение ${\displaystyle 3^{3}+6^{3}=3^{5}}$ имеет основания с общим множителем 3, решение ${\displaystyle 7^{3}+7^{4}=14^{3}}$ имеет основания с общим делителем 7, и ${\displaystyle 2^{n}+2^{n}=2^{n+1}}$ имеет базис с общим множителем 2. Действительно, уравнение имеет бесконечно много решений, в которых базисы имеют общий множитель, включая обобщения трех приведенных выше примеров, соответственно.

${\displaystyle 3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2},\quad \quad n\geq 1;}$

${\displaystyle [b(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n}+(a^{n}-b^{n})^{kn+1}=[a(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n},\quad \quad a>b,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3;}$

и

${\displaystyle [a(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3.}$

Более того, для каждого решения (с взаимно простыми базами или без них) существует бесконечно много решений с тем же набором показателей и растущим набором не взаимно простых базисов. То есть для решения

${\displaystyle A_{1}^{x}+B_{1}^{y}=C_{1}^{z}}$

у нас также есть

${\displaystyle A_{n}^{x}+B_{n}^{y}=C_{n}^{z};}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

куда

${\displaystyle A_{n}=(A_{n-1}^{yz+1})(B_{n-1}^{yz})(C_{n-1}^{yz})}$

${\displaystyle B_{n}=(A_{n-1}^{xz})(B_{n-1}^{xz+1})(C_{n-1}^{xz})}$

${\displaystyle C_{n}=(A_{n-1}^{xy})(B_{n-1}^{xy})(C_{n-1}^{xy+1})}$

Любые решения гипотезы Била обязательно будут включать три члена, все из которых 3-сильные числа, то есть числа, в которых показатель степени каждого простого множителя не менее трех. Известно, что таких сумм с взаимно простыми 3-степенными числами существует бесконечное количество;^[10] однако такие суммы редки. Два самых маленьких примера:

${\displaystyle {\begin{aligned}271^{3}+2^{3}\ 3^{5}\ 73^{3}=919^{3}&=776{,}151{,}559\\3^{4}\ 29^{3}\ 89^{3}+7^{3}\ 11^{3}\ 167^{3}=2^{7}\ 5^{4}\ 353^{3}&=3{,}518{,}958{,}160{,}000\\\end{aligned}}}$

Гипотеза Била отличает то, что она требует, чтобы каждый из трех терминов мог быть выражен как одна степень.

Отношение к другим домыслам

Последняя теорема Ферма установил, что ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$ не имеет решений для п > 2 для положительных целых чисел А, B, и C. Если бы существовали какие-либо решения Великой теоремы Ферма, то, разделив все общие множители, также существовали бы решения с А, B, и C coprime. Следовательно, Великую теорему Ферма можно рассматривать как особый случай гипотезы Била ограничивается Икс = у = z.

В Гипотеза Ферма – Каталонии в том, что ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ имеет только конечное число решений с А, B, и C положительные целые числа без общего простого множителя и Икс, у, и z быть положительными целыми числами, удовлетворяющими ${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}<1.}$ Гипотезу Биля можно переформулировать так: «Все решения гипотезы Ферма – Каталана будут использовать 2 в качестве показателя степени».

В гипотеза abc означало бы, что существует не более конечного числа контрпримеров к гипотезе Биля.

Частичные результаты

В случаях ниже, когда п - показатель, кратный п также доказаны, поскольку k-я степень также является n-й степенью. В тех случаях, когда решения с использованием второй мощности упоминаются ниже, их можно найти, в частности, на Гипотеза Ферма-Каталонии # Известные решения. Все случаи вида (2, 3, n) или (2, n, 3) имеют решение 2³ + 1^п = 3² который ниже именуется Каталонское решение.

• Дело х = у = г ≥ 3 (и, следовательно, случай gcd (Икс, у, z) ≥ 3) является Последняя теорема Ферма, доказано, что нет решений Эндрю Уайлс в 1994 г.^[11]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 3, 7), и было доказано, что все его перестановки имеют только четыре некаталонских решения, ни одно из которых не противоречит гипотезе Била. Бьорн Пунен, Эдвард Ф. Шефер и Майкл Столл в 2005 году.^[12]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 3, 8) Нильс Бруин в 2003 году доказал, что имеет только одно некаталонское решение, которое не противоречит гипотезе Била.^[13]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 3, 9) и все его перестановки, как известно, имеют только одно некаталонское решение, которое не противоречит гипотезе Биля, сделанной Нильсом Бруином в 2003 году.^[14][15][9]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 3, 10), как было доказано Дэвидом Брауном в 2009 году, имеет только каталонское решение.^[16]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 3, 11) и все его перестановки были доказаны Фрейтасом, Наскренцким и Штолем, что они имеют только каталонское решение.^[17]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 3, 15) и все его перестановки были доказаны Самиром Сиксеком и Майклом Столлом в 2013 году.^[18]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 4, 4) и все его перестановки не имеют решений совместной работой Пьер де Ферма в 1640-х гг. и Эйлер в 1738 г. (см. одно доказательство здесь и другой здесь )
• Дело (Икс, у, z) = (2, 4, 5) и все его перестановки, как известно, имеют только одно некаталонское решение, которое не противоречит гипотезе Биля, сделанной Нильсом Бруином в 2003 году.^[14]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 4, п) были доказаны для п ≥ 6 Майкл Беннет, Джордан Элленберг и Натан Нг в 2009 году.^[19]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 6, п) и все его перестановки были доказаны для п ≥ 3 Майкл Беннетт и Имин Чен в 2011 году и Беннетт, Чен, Дамен и Яздани в 2014 году.^[20][5]
• Дело (Икс, у, z) = (2, 2п, 3) были доказаны для 3 ≤ п ≤ 10⁷ Кроме п = 7 и различные сравнения по модулю, когда n простое, чтобы не иметь некаталонских решений Беннета, Чена, Дамена и Яздани.^[21][5]
• Случаи (Икс, у, z) = (2, 2п, 9), (2, 2п, 10), (2, 2п, 15) были доказаны для п ≥ 2 по Беннетту, Чену, Дамену и Яздани в 2014 г.^[5]
• Дело (Икс, у, z) = (3, 3, п) и все его перестановки доказаны для 3 ≤ п ≤ 10⁹ и различные сравнения по модулю, когда n простое.^[15]
• Дело (Икс, у, z) = (3, 4, 5) и все его перестановки были доказаны Сиксеком и Штоллем в 2011 году.^[22]
• Дело (Икс, у, z) = (3, 5, 5) и все его перестановки были доказаны Бьорн Пунен в 1998 г.^[23]
• Дело (Икс, у, z) = (3, 6, п) были доказаны для п ≥ 3 по Беннетту, Чену, Дамену и Яздани в 2014 г.^[5]
• Дело (Икс, у, z) = (4, 2п, 3) были доказаны для п ≥ 2 по Беннету, Чену, Дамену и Яздани в 2014 г.^[5]
• Случаи (5, 5, 7), (5, 5, 19), (7, 7, 5) и все их перестановки были доказаны Сандером Р. Дахменом и Самиром Сиксеком в 2013 году.^[24]
• Случаи (Икс, у, z) = (п, п, 2) были доказаны для п ≥ 4 Дармона и Мерела в 1995 году после работы Эйлера и Пунена.^[25][23]
• Случаи (Икс, у, z) = (п, п, 3) были доказаны для п ≥ 3 Эдуардом Лукасом, Бьорн Пунен, и Дармон и Мерел.^[25]
• Дело (Икс, у, z) = (2п, 2п, 5) были доказаны для п ≥ 2 по Беннетту в 2006 году.^[26]
• Дело (Икс, у, z) = (2l, 2m, п) были доказаны для l, m ≥ 5 простых чисел и n = 3, 5, 7, 11 Анни и Симсеком.^[27]
• Дело (Икс, у, z) = (2l, 2m, 13) были доказаны для l, m ≥ 5 простых чисел Биллерем, Ченом, Дембеле, Дьельфе, Фрейтасом.^[28]
• Дело (Икс, у, z) = (3l, 3м, п) является прямым для l, m ≥ 2 и n ≥ 3 из работы Крауса.^[29]
• Теорема Дармона – Гранвилля использует Теорема Фальтингса показать, что для каждого конкретного выбора показателей (Икс, у, z) существует не более конечного числа взаимно простых решений для (А, B, C).^{[30][7]:п. 64}
• Невозможность дела А = 1 или B = 1 следует из Гипотеза Каталана, доказано в 2002 г. Преда Михайлеску. (Уведомление C не может быть 1 или одно из А и B должен быть 0, что недопустимо.)
• Потенциальный класс решений уравнения, а именно те, у которых А, Б, В также формируя Пифагорейская тройка, рассматривались Л. Есмановичем в 1950-е гг. Дж. Йозефиак доказал, что существует бесконечное число примитивных пифагоровых троек, которые не могут удовлетворять уравнению Била. Дальнейшие результаты принадлежат Чао Ко.^[31]
• Питер Норвиг, Директор по исследованиям Google, сообщили, что провели серию численных поисков контрпримеров к гипотезе Била. Среди своих результатов он исключил все возможные решения, каждое из которых Икс, у, z ≤ 7 и каждый из А, B, C ≤ 250 000, а также возможные решения, каждое из которых Икс, у, z ≤ 100 и каждый из А, B, C ≤ 10,000.^[32]

Приз

Для опубликованного доказательства или контрпримера банкир Эндрю Бил первоначально предложили приз в размере 5000 долларов США в 1997 году, увеличив его до 50 000 долларов за десять лет,^[3] но с тех пор повысил его до 1 000 000 долларов США.^[4]

В Американское математическое общество (AMS) держит приз в размере 1 миллиона долларов до тех пор, пока гипотеза Била не будет решена.^[33] Его курирует Комитет по присуждению премии Биля (BPC), который назначается президентом AMS.^[34]

Варианты

Контрпримеры ${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}}$ и ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$ показывают, что гипотеза была бы ложной, если бы одному из показателей было разрешено равняться 2. Гипотеза Ферма – Каталонии - открытая гипотеза, касающаяся таких случаев. Если допустить, чтобы не более одного из показателей равнялось 2, то решений может быть только конечное число (кроме случая ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$).

Если А, B, C может иметь общий простой множитель, тогда гипотеза неверна; классический контрпример ${\displaystyle 2^{10}+2^{10}=2^{11}}$.

Вариант гипотезы, утверждающей, что Икс, у, z (вместо А, B, C) должен иметь общий простой множитель, неверно. Контрпример ${\displaystyle 27^{4}+162^{3}=9^{7},}$ в котором 4, 3 и 7 не имеют общего простого множителя. (Фактически, действительный максимальный общий простой множитель показателей степени равен 2; общий множитель, превышающий 2, был бы контрпримером к Великой теореме Ферма.)

Гипотеза не верна в большей области Гауссовские целые числа. После того, как за контрпример был предложен приз в 50 долларов, Фред В. Хелениус представил ${\displaystyle (-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}}$.^[35]

Смотрите также

• Гипотеза Эйлера о сумме степеней
• Уравнение Якоби – Мэддена
• Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта
• Номер такси
• Пифагорейская четверка
• Суммы полномочий, список связанных гипотез и теорем
• Распределенных вычислений
• BOINC

Рекомендации

1. "Гипотеза Била". Американское математическое общество. Получено 21 августа 2016.
2. "Гипотеза Била". Bealconjecture.com. Получено 2014-03-06.
3. Р. Даниэль Маулдин (1997). "Обобщение Великой теоремы Ферма: гипотеза Била и проблема приза" (PDF). Уведомления AMS. 44 (11): 1436–1439.
4. "Приз Била". Ams.org. Получено 2014-03-06.
5. Беннетт, Майкл А .; Чен, Имин; Dahmen, Sander R .; Яздани, Соруш (июнь 2014 г.). "Обобщенные уравнения Ферма: Разное" (PDF). Университет Саймона Фрейзера. Получено 1 октября 2016.
6. "Гипотеза Молдина / Тийдемана-Загира". Пазлы Prime. Получено 1 октября 2016.
7. Элкис, Ноам Д. (2007). "Азбука теории чисел" (PDF). Обзор математики Гарвардского колледжа. 1 (1).
8. Мишель Вальдшмидт (2004). «Открытые диофантовы проблемы». Московский математический журнал. 4: 245–305. arXiv:математика / 0312440. Дои:10.17323/1609-4514-2004-4-1-245-305.
9. Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2000). Простые числа: вычислительная перспектива. Springer. п.417. ISBN  978-0387-25282-7.
10. Нитадж, Абдеррахман (1995). «Об одной гипотезе Эрдо о 3-сильных числах». Бюллетень Лондонского математического общества. 27 (4): 317–318. CiteSeerX  10.1.1.24.563. Дои:10.1112 / blms / 27.4.317.
11. «Миллиардер предлагает 1 миллион долларов на решение математической задачи | Новостные блоги ABC - Yahoo». Gma.yahoo.com. 2013-06-06. Получено 2014-03-06.
12. Пунен, Бьорн; Шефер, Эдвард Ф .; Столл, Майкл (2005). "Повороты Икс(7) и примитивные решения Икс² + у³ = z⁷". Математический журнал герцога. 137: 103–158. arXiv:математика / 0508174. Bibcode:2005математика ...... 8174P. Дои:10.1215 / S0012-7094-07-13714-1.
13. Брюин, Нильс (9 января 2003 г.). «Методы Шабути с использованием эллиптических кривых». Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Crelles). 2003 (562). Дои:10.1515 / crll.2003.076. ISSN  0075-4102.
14. Брюин, Нильс (2005-03-01). "Примитивные решения x ^ 3 + y ^ 9 = z ^ 2". Журнал теории чисел. 111 (1): 179–189. arXiv:математика / 0311002. Дои:10.1016 / j.jnt.2004.11.008. ISSN  0022-314X.
15. Фриц Бойкерс (20 января 2006 г.). «Обобщенное уравнение Ферма» (PDF). Staff.science.uu.nl. Получено 2014-03-06.
16. Браун, Дэвид (2009). «Примитивные интегральные решения для Икс² + у³ = z¹⁰". arXiv:0911.2932 [math.NT ].
17. Фрейтас, Нуно; Наскренцкий, Бартош; Столл, Майкл (январь 2020 г.). «Обобщенное уравнение Ферма с показателями 2, 3, n». Compositio Mathematica. 156 (1): 77–113. Дои:10.1112 / S0010437X19007693. ISSN  0010-437X.
18. Сиксек, Самир; Столл, Майкл (2013). "Обобщенное уравнение Ферма. Икс² + у³ = z¹⁵". Archiv der Mathematik. 102 (5): 411–421. arXiv:1309.4421. Дои:10.1007 / s00013-014-0639-z.
19. «Диофантово уравнение» (PDF). Math.wisc.edu. Получено 2014-03-06.
20. Беннетт, Майкл А .; Чен, Имин (25 июля 2012 г.). "Мульти--кривые Фрея и диофантово уравнение a ^ 2 + b ^ 6 = c ^ n". Алгебра и теория чисел. 6 (4): 707–730. Дои:10.2140 / ant.2012.6.707. ISSN  1944-7833.
21. Чен, Имин (2007-10-23). "Об уравнении $ s ^ 2 + y ^ {2p} = alpha ^ 3 $". Математика вычислений. 77 (262): 1223–1228. Дои:10.1090 / S0025-5718-07-02083-2. ISSN  0025-5718.
22. Сиксек, Самир; Столл, Майкл (2012). «Частичный спуск по гиперэллиптическим кривым и обобщенное уравнение Ферма x ^ 3 + y ^ 4 + z ^ 5 = 0». Бюллетень Лондонского математического общества. 44 (1): 151–166. arXiv:1103.1979. Дои:10.1112 / blms / bdr086. ISSN  1469-2120.
23. Пунен, Бьорн (1998). "Некоторые диофантовы уравнения вида x ^ n + y ^ n = z ^ m". Acta Arithmetica (по польски). 86 (3): 193–205. Дои:10.4064 / aa-86-3-193-205. ISSN  0065-1036.
24. Dahmen, Sander R .; Сиксек, Самир (2013). «Совершенные силы, выражаемые как суммы двух пятых или седьмых степеней». arXiv:1309.4030 [math.NT ].
25. Х. Дармон и Л. Мерел. Коэффициенты намотки и некоторые варианты Великой теоремы Ферма, J. ​​Reine Angew. Математика. 490 (1997), 81–100.
26. Беннетт, Майкл А. (2006). "Уравнение x ^ {2n} + y ^ {2n} = z ^ 5" (PDF). Журнал де Теори де Номбр де Бордо. 18 (2): 315–321. Дои:10.5802 / jtnb.546. ISSN  1246-7405.
27. Анни, Самуэле; Сиксек, Самир (30.08.2016). «Модульные эллиптические кривые над вещественными абелевыми полями и обобщенное уравнение Ферма x ^ {2ℓ} + y ^ {2m} = z ^ p». Алгебра и теория чисел. 10 (6): 1147–1172. arXiv:1506.02860. Дои:10.2140 / ant.2016.10.1147. ISSN  1944-7833.
28. Биллерей, Николас; Чен, Имин; Дембеле, Лассина; Dieulefait, Луис; Фрейтас, Нуно (2019-03-05). «Некоторые расширения модулярного метода и уравнения Ферма сигнатуры (13, 13, n)». arXiv:1802.04330 [math.NT ].
29. Краус, Ален (1998-01-01). "Sur l'équation a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ p". Экспериментальная математика. 7 (1): 1–13. Дои:10.1080/10586458.1998.10504355. ISSN  1058-6458.
30. Darmon, H .; Гранвилл, А. (1995). "Об уравнениях z^м = F(Икс, у) и Топор^п + К^q = Чехия^р". Бюллетень Лондонского математического общества. 27 (6): 513–43. Дои:10.1112 / blms / 27.6.513.
31. Вацлав Серпинский, Пифагоровы треугольники, Довер, 2003, с. 55 (ориг. Высшая школа естественных наук, Университет Иешива, 1962 г.).
32. Норвиг, Питер. «Гипотеза Била: поиск контрпримеров». Norvig.com. Получено 2014-03-06.
33. Уолтер Хики (5 июня 2013 г.). «Если вы сможете решить эту математическую задачу, то техасский банкир даст вам 1 миллион долларов». Business Insider. Получено 8 июля 2016.
34. «Математическая задача на 1 миллион долларов: банкир Д. Эндрю Бил предлагает награду за расследование гипотезы, не решенной в течение 30 лет». International Science Times. 5 июня 2013. Архивировано с оригинал 29 сентября 2017 г.
35. «Забытые гауссианы». Mathpuzzle.com. Получено 2014-03-06.

внешняя ссылка

• Страница офиса премии Била
• Bealconjecture.com
• Math.unt.edu
• Гипотеза Била в PlanetMath.
• Mathoverflow.net обсуждение имени и даты происхождения теоремы