Группа Баумслаг-Герстен - Baumslag–Gersten group

В математическом предмете геометрическая теория групп, то Группа Баумслаг-Герстен, также известный как Группа Баумслаг, это особый группа с одним отношением проявляя некоторые замечательные свойства, касающиеся его конечного факторгруппы, это Функция Дена и сложность его проблема со словом.

Группа представлена презентация

${\displaystyle G=\langle a,t\mid a^{a^{t}}=a^{2}\rangle =\langle a,t\mid (t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle }$

Здесь экспоненциальная запись для элементов группы означает сопряжение, т. Е. ${\displaystyle g^{h}=h^{-1}gh}$ за ${\displaystyle g,h\in G}$.

История

Группа Баумслага – Герстена грамм был первоначально представлен в статье 1969 г. Гилберт Баумслаг,^[1] как пример не-финитно аппроксимируемая группа с одним отношением с дополнительным замечательным свойством, что все конечные факторгруппы этой группы циклические. Позже, в 1992 году, Стивен Герстен^[2] показало, что грамм, несмотря на то, что это группа с одним отношением, представленная довольно простой презентацией, имеет Функция Дена растет очень быстро, а именно быстрее, чем любая фиксированная итерация экспоненциальной функции. Этот пример остается самым быстрым известным ростом функции Дена среди групп с одним соотношением. В 2011 году Алексей Мясников, Александр Ушаков и Дон Ук Вон^[3] доказал, что грамм имеет проблема со словом разрешима за полиномиальное время.

Группа Баумслага-Герстена как расширение HNN

Группа Баумслага – Герстена грамм также может быть реализован как Расширение HNN из Баумслаг – Солитэр группа ${\displaystyle BS(1,2)=\langle a,b\mid a^{b}=a^{2}\rangle }$ стабильным письмом т и две циклические ассоциированные подгруппы${\displaystyle \langle a\rangle ,\langle b\rangle }$:

${\displaystyle G=\langle a,t\mid a^{a^{t}}=a^{2}\rangle =\langle a,b,t\mid a^{b}=a^{2},a^{t}=b\rangle .}$

Свойства группы Баумслага – Герстена. грамм

• Каждый конечный факторгруппа из грамм является циклический. В частности, группа грамм не является финитно аппроксимируемая.^[1]
• Эндоморфизм грамм является либо автоморфизмом, либо его образ является циклической подгруппой в грамм. В частности, группа грамм является Hopfian и ко-хопфианский.^[4]
• В группа внешних автоморфизмов Из(грамм) из грамм изоморфна аддитивной группе диадических рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}}\right]}$ и, в частности, не является конечно порожденным.^[4]
• Герстен доказал^[2] что Функция Дена ж(п) из грамм растет быстрее, чем любая фиксированная итерация экспоненты. Впоследствии А. Н. Платонов^[5] доказал, что f (n) эквивалентно

${\displaystyle \exp ^{\circ \log n}(1)=(\exp \underbrace {\circ \cdots \circ } _{\log n{\text{ times }}}\exp )(1)}$

• Мясников, Ушаков и Вон,^[3] используя методы сжатия арифметики "силовых цепей", доказал, что слово проблема в грамм разрешима за полиномиальное время. Таким образом, группа грамм демонстрирует большой разрыв между ростом функции Дена и сложностью проблемы слов.
• В проблема сопряженности в грамм как известно, разрешима, но единственная известная верхняя оценка сложности проблемы сопряжения в худшем случае, выполненная Янис Биз, является элементарный рекурсивный.^[6] Предполагается, что эта оценка точна, основываясь на некоторых сокращениях проблем разделения силовых цепей.^[7] Существует сильно в общем полиномиальное решение задачи сопряжения для грамм.^[7]

Обобщения

• Эндрю Бруннер^[4] рассматриваемые группы с одним соотношением вида

${\displaystyle \langle a,t\mid (a^{p})^{(t^{-1}a^{k}t)}=a^{m}\rangle ,}$ куда ${\displaystyle p,k,m\neq 0}$

и обобщил многие оригинальные результаты Баумслага в этом контексте.

• Махан Митра^[8] считается словесно-гиперболический аналог грамм группы Баумслага – Герстена, где группа Митры обладает свободной подгруппой третьего ранга, которая сильно искажена в грамм, а именно там, где искажение подгруппы выше, чем любая фиксированная повторяемая степень экспоненты.

Смотрите также

• Подгруппа искажений

Рекомендации

1. Баумслаг, Гилберт (1969). «Нециклическая группа с одним соотношением, все конечные фактор-группы которой циклические». Журнал Австралийского математического общества. 10: 497–498. Дои:10.1017 / S1446788700007783. МИСТЕР  0254127.
2. Герстен, Стивен М. (1992), "Функции Дена и ${\displaystyle l_{1}}$-нормы конечных представлений », Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), Математика. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Нью-Йорк: Springer, стр. 195–224, Дои:10.1007/978-1-4613-9730-4_9, МИСТЕР  1230635
3. Мясников Алексей; Ушаков Александр; Вон, Дон Ук (2011). «Проблема слов в группе Баумслага с неэлементарной функцией Дена разрешима за полиномиальное время». Журнал алгебры. 345: 324–342. arXiv:1102.2481. Дои:10.1016 / j.jalgebra.2011.07.024. МИСТЕР  2842068.
4. Бруннер, Эндрю (1980). «О классе групп с одним соотношением». Канадский математический журнал. 32 (2): 414–420. Дои:10.4153 / CJM-1980-032-8. МИСТЕР  0571934.
5. Платонов, А. (2004). «Изопараметрическая функция группы Баумслага – Герстена». Московский унив. Математика. Бык. 59 (3): 12–17. МИСТЕР  2127449.
6. Биз, Янис (2012). Проблема конъюгаций Даса в Баумслаге – Герстене – Группе (Диплом). Fakultät Mathematik, Университет Штутгарта.
7. Дикерт, Фолькер; Мясников, Алексей Г .; Вайс, Армин (2016). «Сопряжение в группе Баумслага, общая сложность случая и разделение в силовых цепях». Алгоритмика. 76 (4): 961–988. arXiv:1309.5314. Дои:10.1007 / s00453-016-0117-z. МИСТЕР  3567623.
8. Митра, Махан (1998). «Грубая внешняя геометрия: обзор». Геом. Тополь. Monogr. Монографии по геометрии и топологии. 1: 341–364. arXiv:math.DG / 9810203. Дои:10.2140 / gtm.1998.1.341. МИСТЕР  1668308.

внешняя ссылка

• Искажение конечно определенных подгрупп групп неположительной кривизны, блог семинара Берштейна весны 2011 г. в Корнелле, включая диаграммы ван Кампена, демонстрирующие искажение подгрупп в группе Баумслага – Герстена, и обсуждение примеров, подобных Митре.