Дерево Ароншайн - Aronszajn tree

В теория множеств, Дерево Ароншайн бесчисленное множество дерево без бесчисленных ветвей и бесчисленных уровней. Например, каждый Суслин дерево это дерево Ароншайна. В общем, для кардинала κ, а κ-Ароншайн дерево это дерево мощность κ в котором все уровни имеют размер меньше κ и все ветви имеют высоту меньше κ (так что деревья Ароншайна такие же, как ${displaystyle aleph _ {1}}$ -Ароншайн деревья). Они названы в честь Нахман Ароншайн, который построил дерево Ароншайна в 1934 году; его конструкция была описана Курепа (1935).

Кардинал κ для которого нет κ-Ароншайн деревья существуют, как говорят, имеют свойство дерева(иногда условие, что κ входит штатный и бесчисленный).

Существование деревьев κ-Ароншайн

Лемма Кёнига утверждает, что ${displaystyle aleph _ {0}}$ -Ароншайн деревьев не существует.

Существование деревьев Ароншайн ( ${displaystyle = aleph _ {1}}$ -Aronszajn деревья) было доказано Нахман Ароншайн, и означает, что аналог Лемма Кёнига не относится к бесчисленным деревьям.

Существование ${displaystyle aleph _ {2}}$ -Деревья Ароншайна неразрешимы (в предположении некоторой большой кардинальной аксиомы): точнее, гипотеза континуума подразумевает наличие ${displaystyle aleph _ {2}}$ -Ароншайн дерево, и Митчелл и Сильвер показали, что это последовательный (относительно существования слабо компактный кардинал ) это не ${displaystyle aleph _ {2}}$ -Ароншайн деревья существуют.

Дженсен доказал, что V = L подразумевает, что существует κ-Ароншайн дерево (на самом деле κ-Суслин дерево ) для каждого бесконечного кардинала-преемникаκ.

Каммингс и Форман (1998) показал (используя большую кардинальную аксиому), что непротиворечиво ${displaystyle aleph _ {n}}$ -Деревья Ароншайна существуют для любых конечных п кроме 1.

Если κ слабо компактно, то нет κ-Ароншайн деревья существуют. И наоборот, если κ недоступен и нет κ-Ароншайн деревья существуют тогда κ слабо компактный.

Особые деревья Ароншайн

Дерево Ароншайна называется специальный если есть функция ж от дерева к рациональным числам, так чтож(Икс) < ж(у) в любое время Икс < у. Аксиома мартина MA ( ${displaystyle aleph _ {1}}$ ) означает, что все деревья Ароншайна особенные. Сильнее аксиома правильного принуждения следует более сильное утверждение, что для любых двух деревьев Ароншайна существует клубный набор таких уровней, что ограничения деревьев на этот набор уровней изоморфны, что говорит о том, что в некотором смысле любые два дерева Ароншайна по существу изоморфны (Авраам и Шела 1985 ). С другой стороны, существование неспециальных деревьев Ароншайна является согласованным, и это также согласуется с гипотеза обобщенного континуума плюс Гипотеза Суслина (Шлиндвайн 1994 ).

Строительство особого дерева Ароншайн

Специальное дерево Ароншайна можно построить следующим образом.

Элементы дерева - это некоторые упорядоченные наборы рациональных чисел с рациональной супремумом или −∞. Если Икс и у два из этих множеств, то мы определяем Икс ≤ у (в древовидном порядке), что означает, что Икс - начальный отрезок упорядоченного множествау. Для каждого счетного ординала α запишем U_α для элементов дерева уровня α, так что элементы U_α - некоторые наборы рациональных чисел порядкового типа α. Особое дерево Ароншайн Т является объединением множеств U_α для всех счетных α.

Строим счетные уровни U_α трансфинитной индукцией по α следующим образом, начиная с пустого множества как U₀:

Если α + 1 является преемником, тогда U_α+1 состоит из всех расширений последовательности Икс в U_α рациональным больше, чем sup Икс. U_α + 1 счетно, поскольку состоит из счетного числа расширений каждого из счетного числа элементов в U_α.
Если α предел, то пусть Т_α быть деревом всех точек уровня ниже α. Для каждого Икс в Т_α и для каждого рационального числа q больше чем sup Икс, выберите уровень α филиал Т_α содержащий Икс с супремумом q. потом U_α состоит из этих ветвей. U_α счетно, так как состоит из счетного числа ветвей для каждого из счетного числа элементов в Т_α.

Функция ж(Икс) = supИкс рационально или −∞ и обладает тем свойством, что если Икс < у тогда ж(Икс) < ж(у). Любой филиал в Т можно считать как ж инъективно отображает ветви на −∞ и рациональные числа. Т неисчислим, так как имеет непустой уровень U_α для каждого счетного порядкового номера α которые составляют первый несчетный порядковый номер. Это доказывает, что Т это особое дерево Ароншайна.

Эту конструкцию можно использовать для построения κ-Ароншайн деревья всякий раз, когда κ является преемником регулярного кардинала, и гипотеза обобщенного континуума верна путем замены рациональных чисел более общим η набор.

Смотрите также

внешняя ссылка

PlanetMath