Аппроксимация в алгебраических группах - Approximation in algebraic groups

В теории алгебраических групп аппроксимационные теоремы являются продолжением Китайская теорема об остатках к алгебраические группы грамм над глобальные поля k.

История

Эйхлер (1938) доказали сильную аппроксимацию для некоторых классических групп. сильная аппроксимация была установлена в 1960-1970-х годах для полупростых односвязных алгебраических групп над глобальные поля. Результаты для числовые поля из за Кнезер (1966 ) и Платонов (1969 ); то функциональное поле случай, закончился конечные поля, связано с Маргулис (1977 ) и Прасад (1977 ). В случае числового поля Платонов также доказал родственный результат над местные поля называется Гипотеза Кнезера – Титса.

Формальные определения и свойства

Позволять грамм - линейная алгебраическая группа над глобальным полем k, и А кольцо аделей k. Если S - непустое конечное множество мест k, то пишем А^S для кольца S-адель и А_S для продукта доработок k_s, за s в конечном множестве S. На любой выбор S, грамм(k) встраивается в грамм(А_S) и грамм(А^S).

Вопрос задан в слабый приближение, является ли вложение грамм(k) в грамм(А_S) имеет плотный образ. Если группа грамм связан и k-рационально, то он удовлетворяет слабой аппроксимации по любому множеству S (Платонов, Рапинчук 1994, стр.402). В общем, для любой подключенной группы грамм, существует конечное множество Т конечных мест k такой, что грамм удовлетворяет слабому приближению относительно любого множества S это не пересекается с Т (Платонов, Рапинчук 1994, стр.415). В частности, если k является полем алгебраических чисел, то любая группа грамм удовлетворяет слабому приближению по множеству S = S_∞ бесконечных мест.

Вопрос задан в сильный приближение, является ли вложение грамм(k) в грамм(А^S) имеет плотный образ, или, что то же самое, имеет ли множество

грамм(k)грамм(А_S)

это плотное подмножество в грамм(А). Основная теорема сильного приближения (Кнезер 1966, с.188) утверждает, что неразрешимая линейная алгебраическая группа грамм над глобальным полем k имеет сильную аппроксимацию для конечного множества S если и только если это радикальный N является всесильный, грамм/N односвязно, и каждый почти простой компонент ЧАС из грамм/N имеет некомпактный компонент ЧАС_s для некоторых s в S (в зависимости от ЧАС).

Доказательства сильного приближения зависели от Принцип Хассе для алгебраических групп, которые для групп типа E₈ было доказано только несколько лет спустя.

Слабое приближение справедливо для более широкого класса групп, включая присоединенные группы и внутренние формы из Группы Шевалле, показывая, что свойство сильной аппроксимации является ограничительным.

Смотрите также

Сверхсильное приближение

Аппроксимация в алгебраических группах - Approximation in algebraic groups

Содержание

История

Формальные определения и свойства

Смотрите также

Рекомендации