Окружающая конструкция - Ambient construction

В конформная геометрия, то окружающая конструкция относится к конструкции Чарльз Фефферман и Робин Грэм^[1] для чего конформное многообразие измерения п реализуется (окружающий) как границу некоторого Многообразие Пуанкаре или, альтернативно, как небесная сфера определенного псевдориманов многообразие.

Конструкция эмбиента канонична в том смысле, что выполняется только с использованием конформный класс метрики: она конформно инвариантна. Однако конструкция только работает асимптотически, до определенного порядок приближения. В общем, есть препятствие для продолжения этого расширения после критического порядка. Само препятствие имеет тензорный характер и известно как (конформное) тензор препятствий. Это вместе с Тензор Вейля, один из двух примитивных инвариантов конформной дифференциальной геометрии.

Помимо тензора препятствий, внешняя конструкция может использоваться для определения класса конформно-инвариантных дифференциальные операторы известный как Операторы GJMS.^[2]

Родственная конструкция - это пучок тракторов.

Обзор

За модельной плоской геометрией для окружающего строительства будущее нулевой конус в Пространство Минковского с удаленным источником. Небесная сфера на бесконечности - это конформное многообразие M, а нулевые лучи в конусе определяют линейный пакет над M. Более того, нулевой конус несет метрику, которая вырождается в направлении образующих конуса.

Затем окружающая конструкция в этом плоском модельном пространстве спрашивает: если у человека есть такой линейный пучок вместе с его вырожденной метрикой, в какой степени возможно продлевать метрику от нулевого конуса каноническим способом, таким образом восстанавливая окружающее пространство Минковского? Формально вырожденная метрика дает Граничное условие Дирихле для проблемы расширения, и, как оказалось, естественным условием является то, чтобы расширенная метрика была Ricci квартира (из-за нормализации нормальное конформное соединение.)

Внешняя конструкция обобщает это на случай, когда M конформно изогнута, сначала путем построения естественного расслоения нулевых линий N с вырожденной метрикой, а затем решает связанную задачу Дирихле на N × (-1,1).

Подробности

В этом разделе представлен обзор конструкции сначала нулевого линейного пучка, а затем его внешнего расширения.

Пакет нулевой строки

Предположим, что M является конформным многообразием и что [грамм] обозначает конформную метрику, определенную на M. Пусть π: N → M обозначим тавтологическое подрасслоение T^*M ⊗ Т^*M определяется всеми представителями конформной метрики. С точки зрения фиксированной фоновой метрики грамм₀, N состоит из всех положительных кратных ω²грамм₀ метрики. Есть естественное действие р⁺ на N, данный

${\displaystyle \delta _{\omega }g=\omega ^{2}g}$

Более того, общая площадь из N несет тавтологическую вырожденную метрику, так как если п является точкой слоя π: N → M соответствующий конформному представителю грамм_п, тогда пусть

${\displaystyle h_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(\pi _{*}X,\pi _{*}Y).}$

Эта метрика вырождается по вертикали. Кроме того, он однороден степени 2 по р⁺ действие на N:

${\displaystyle \delta _{\omega }^{*}h=\omega ^{2}h}$

Позволять Икс - вертикальное векторное поле, генерирующее действие масштабирования. Тогда сразу проявляются следующие свойства:

час(Икс,-) = 0

L_Иксh = 2час, куда L_Икс это Производная Ли вдоль векторного поля Икс.

Окружающее пространство

Позволять N^~ = N × (-1,1) с естественным включением я : N → N^~. Растяжения δ_ω естественно распространяться на N^~, а значит, и генератор Икс дилатации.

An окружающая метрика на N^~ является лоренцевой метрикой час^~ такой, что

• Метрика однородный: δ_ω^* час^~ = ω² час^~
• Метрика - это окружающее расширение: я^* час^~ = час, куда я^* это откат по естественному включению.
• Метрика Ricci квартира: Ric (час^~) = 0.

Предположим, что фиксированный представитель конформной метрики грамм и местная система координат Икс = (Икс^я) выбраны на M. Они индуцируют координаты на N путем определения точки в волокне N с (Икс,т²грамм(Икс)) куда т > 0 - координата волокна. (В этих координатах Икс = т ∂_т.) Наконец, если ρ - определяющая функция N в N^~ однородной степени 0 относительно растяжений, то (Икс,т, ρ) - координаты N^~. Более того, любая метрика расширения, однородная степени 2, может быть записана в этих координатах в виде:

${\displaystyle h^{\sim }=t^{2}g_{ij}(x,\rho )dx^{i}dx^{j}+2\rho dt^{2}+2tdtd\rho ,\,}$

где грамм_ij находятся п² функции с грамм(Икс,0) = грамм(Икс), данного конформного представителя.

После некоторых вычислений можно показать, что плоскостность Риччи эквивалентна следующему дифференциальному уравнению, где штрих обозначает дифференцирование по р:

${\displaystyle \rho g_{ij}''-\rho g^{kl}g_{ik}'g_{jl}+{\tfrac {1}{2}}\rho g^{kl}g_{kl}'g_{ij}'+{\frac {2-n}{2}}g_{ij}'-{\tfrac {1}{2}}g^{kl}g_{kl}'g_{ij}+\mathrm {Ric} (g)_{ij}=0.}$

Затем можно формально решить это уравнение как степенной ряд по ρ, чтобы получить асимптотическое развитие внешней метрики от нулевого конуса. Например, замена ρ = 0 и решение дает

грамм_ij^′(Икс,0) = 2п_ij

куда п это Тензор Схоутена. Затем снова дифференцируя и подставляя известное значение грамм_ij^′(Икс, 0) в уравнение, вторая производная может быть кратной Тензор Баха. И так далее.

Смотрите также

• AdS / CFT корреспонденция
• Голографический принцип

Рекомендации

1. Фефферман, К. и Грэм, Р. «Конформные инварианты», в Élie Cartan et les Mathématiques d'Aujourdui, Asterisque (1985), 95–116.
2. Грэм, Р., Дженн, Р., Мейсон, Л.Дж., и Спарлинг, Г.А.Дж. «Конформно инвариантные степени лапласиана I: Существование», Jour. Лондон. Математика. Soc, 46 (1992), 557-565.

• Чарльз Фефферман; Робин Грэм, К. (2007). «Эмбиент метрика». arXiv:0710.0919 [math.DG ].