Сорт Альбанезе - Albanese variety

В математика, то Сорт Альбанезе ${\displaystyle A(V)}$, названный в честь Джакомо Альбанезе, является обобщением Якобиева многообразие кривой.

Точное заявление

Сорт Альбанезе - это абелевый сорт. ${\displaystyle A}$ генерируется разнообразием ${\displaystyle V}$ взяв заданную точку ${\displaystyle V}$ к личности ${\displaystyle A}$. Другими словами, есть морфизм из разновидности ${\displaystyle V}$ своему сорту Альбанезе ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$, такой, что любой морфизм из ${\displaystyle V}$ в абелево многообразие (переводящее данную точку в тождество) разлагается однозначно через ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$. Для комплексных многообразий Андре Бланшар (1956 ) аналогично определил многообразие Альбанезе как морфизм из ${\displaystyle V}$ к тору ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ такой, что любой морфизм тора однозначно факторизуется через это отображение. (В данном случае это аналитическое многообразие; оно не обязательно должно быть алгебраическим.)

Характеристики

За компактный Кэлеровы многообразия размер сорта Альбанезе - Номер Ходжа ${\displaystyle h^{1,0}}$, размерность пространства дифференциалы первого рода на ${\displaystyle V}$, который для поверхностей называется неровность поверхности. С точки зрения дифференциальные формы, любая голоморфная 1-форма на ${\displaystyle V}$ это откат трансляционно-инвариантной 1-формы на многообразии Альбанезе, происходящей из голоморфной котангенс пространство из ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ в его индивидуальном элементе. Как и в случае кривой, по выбору базовая точка на ${\displaystyle V}$ (из которого «интегрировать»), Морфизм Альбанезе

${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

определяется, по которому 1-формы отступают. Этот морфизм уникален вплоть до перевода на разновидность Альбанезе. Для многообразий над полями положительной характеристики размерность многообразия Альбанезе может быть меньше чисел Ходжа ${\displaystyle h^{1,0}}$ и ${\displaystyle h^{0,1}}$ (которые не обязательно должны быть равными). Чтобы увидеть первое, обратите внимание, что сорт Альбанезе двойственен Разновидность пикара, касательное пространство которого в единице задается формулой ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X}).}$ Который ${\displaystyle \dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}}$ является результатом Дзюн-ичи Игуса в библиографии.

Теорема Ройтмана

Если наземное поле k является алгебраически замкнутый, карта Альбанезе ${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$ можно показать факторизовать гомоморфизм группы (также называемый Карта Альбанезе)

${\displaystyle CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)}$

от Группа чау 0-мерных циклов на V к группе рациональные точки из ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$, которая является абелевой группой, поскольку ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ является абелевой разновидностью.

Теорема Ройтмана, введенный А.А. Ройтман (1980 ), утверждает, что при л премьер к char (k) отображение Альбанезе индуцирует изоморфизм на л-кручение подгруппы.^[1][2] Замена группы Чжоу алгебраическими сингулярными гомологиями Суслина – Воеводского после введения Мотивная когомология Теорема Ройтмана была получена и переформулирована в мотивационных рамках. Например, аналогичный результат верен для неособых квазипроективных многообразий.^[3] Дальнейшие версии Теорема Ройтмана доступны для обычных схем.^[4] Собственно, самые общие формулировки Теорема Ройтмана (т.е. гомологические, когомологические и Борел – Мур ) вовлекают мотивный комплекс Альбанезе ${\displaystyle \operatorname {LAlb} (V)}$ и были доказаны Лукой Барбьери-Виале и Бруно Каном (см. ссылки III.13).

Связь с разновидностью Пикар

Сорт Альбанезе - это двойной к Разновидность пикара (в связный компонент нуля Схема Пикара классификация обратимые связки на V):

${\displaystyle \operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee }.}$

Для алгебраических кривых Теорема Абеля – Якоби следует, что многообразия Альбанезе и Пикара изоморфны.

Смотрите также

• Промежуточный якобиан
• Схема Альбанезе
• Мотивик Альбанезе

Примечания и ссылки

1. Ройтман, А.А. (1980). «Кручение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Анналы математики. Вторая серия. 111 (3): 553–569. Дои:10.2307/1971109. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971109. МИСТЕР  0577137.
2. Блох, Спенсер (1979). "Алгебраические циклы кручения и теорема Ройтмана". Compositio Mathematica. 39 (1). МИСТЕР  0539002.
3. Spieß, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Mathematische Annalen. 325: 1–17. arXiv:математика / 0009017. Дои:10.1007 / s00208-002-0359-8.
4. Гейссер, Томас (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Письма о математических исследованиях. 22 (4): 1129–1144. arXiv:1402.1831. Дои:10.4310 / MRL.2015.v22.n4.a8.

• Барбьери-Виале, Лука; Кан, Бруно (2016), О производной категории 1-мотивов, Astérisque, 381, SMF, arXiv:1009.1900, ISBN  978-2-85629-818-3, ISSN  0303-1179, МИСТЕР  3545132
• Бланшар, Андре (1956), "Sur les varétés analytiques комплексы", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 3, 73 (2): 157–202, Дои:10.24033 / asens.1045, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0087184
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джо (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. С. 331, 552. ISBN  978-0-471-05059-9.
• Игуса, Дзюн-ичи (1955). «Фундаментальное неравенство в теории многообразий Пикара». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 41 (5): 317–20. Bibcode:1955ПНАС ... 41..317И. Дои:10.1073 / pnas.41.5.317. ЧВК  528086. PMID  16589672.
• Паршин, Алексей Н. (2001) [1994], "Albanese_variety", Энциклопедия математики, EMS Press