Уравнение акустической волны - Acoustic wave equation

В физика, то уравнение акустической волны управляет распространением акустические волны через материальную среду. Форма уравнения второго порядка уравнение в частных производных. Уравнение описывает эволюцию акустическое давление ${\displaystyle p}$ или же скорость частицы ты как функция должности Икс и время ${\displaystyle t}$. Упрощенная форма уравнения описывает акустические волны только в одном пространственном измерении, тогда как более общая форма описывает волны в трех измерениях.

Для среды с потерями необходимо применять более сложные модели, чтобы учесть частотно-зависимое затухание и фазовую скорость. Такие модели включают уравнения акустических волн, которые включают члены дробной производной, см. Также акустическое затухание статья или обзорный доклад.^[1]

В одном измерении

Уравнение

Волновое уравнение, описывающее звук в одном измерении (положение ${\displaystyle x}$) является

${\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0,}$

куда ${\displaystyle p}$ это акустическое давление (местное отклонение от атмосферного давления), а где ${\displaystyle c}$ это скорость звука.^[2]

Решение

При условии, что скорость ${\displaystyle c}$ - константа, не зависящая от частоты (бездисперсионный случай), то наиболее общим решением будет

${\displaystyle p=f(ct-x)+g(ct+x)}$

куда ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ - любые две дважды дифференцируемые функции. Это можно представить как суперпозиция двух осциллограмм произвольного профиля, одного (${\displaystyle f}$) движется вверх по оси x, а другой (${\displaystyle g}$) вниз по оси абсцисс со скоростью ${\displaystyle c}$. Частный случай синусоидальной волны, бегущей в одном направлении, получается выбором либо ${\displaystyle f}$ или же ${\displaystyle g}$ быть синусоидой, а другой - нулем, что дает

${\displaystyle p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)}$.

куда ${\displaystyle \omega }$ это угловая частота волны и ${\displaystyle k}$ это его волновое число.

Вывод

Вывод уравнения акустической волны.

Вывод волнового уравнения включает три этапа: вывод уравнения состояния, линеаризованное одномерное уравнение неразрывности и линеаризованное одномерное уравнение силы.

Уравнение состояния (закон идеального газа )

${\displaystyle PV=nRT}$

В адиабатический процесс, давление п как функция плотности ${\displaystyle \rho }$ можно линеаризовать до

${\displaystyle P=C\rho \,}$

куда C некоторая константа. Разбивая давление и плотность на их средние и общие компоненты и отмечая, что ${\displaystyle C={\frac {\partial P}{\partial \rho }}}$:

${\displaystyle P-P_{0}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)(\rho -\rho _{0})}$.

Адиабатический объемный модуль для жидкости определяется как

${\displaystyle B=\rho _{0}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{adiabatic}}$

что дает результат

${\displaystyle P-P_{0}=B{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}}$.

Конденсация, s, определяется как изменение плотности для данной плотности окружающей среды.

${\displaystyle s={\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}}$

Линеаризованное уравнение состояния принимает вид

${\displaystyle p=Bs\,}$ куда п - акустическое давление (${\displaystyle P-P_{0}}$).

В уравнение неразрывности (сохранение массы) в одном измерении равно

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0}$.

Где ты это скорость потока Снова уравнение должно быть линеаризовано, а переменные разделены на средние и переменные компоненты.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho _{0}s)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho _{0}u+\rho _{0}su)=0}$

Переставив и отметив, что окружающая плотность не изменяется ни во времени, ни в положении, и что конденсация, помноженная на скорость, является очень малым числом:

${\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u=0}$

Уравнение Эйлера Силы (сохранение импульса) - последний необходимый компонент. В одном измерении уравнение выглядит так:

${\displaystyle \rho {\frac {Du}{Dt}}+{\frac {\partial P}{\partial x}}=0}$,

куда ${\displaystyle D/Dt}$ представляет конвективный, материальный или материальный производный, которая является производной в точке, движущейся со средой, а не в фиксированной точке.

Линеаризация переменных:

${\displaystyle (\rho _{0}+\rho _{0}s)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}\right)u+{\frac {\partial }{\partial x}}(P_{0}+p)=0}$.

Переставляя и пренебрегая малыми членами, полученное уравнение становится линеаризованным одномерным уравнением Эйлера:

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}=0}$.

Взяв производную по времени уравнения неразрывности и пространственную производную уравнения сил, получаем:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}=0}$

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0}$.

Умножая первое на ${\displaystyle \rho _{0}}$, вычитая два и подставляя линеаризованное уравнение состояния,

${\displaystyle -{\frac {\rho _{0}}{B}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0}$.

Конечный результат

${\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}$

куда ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}}}$ это скорость распространения.

В трех измерениях

Уравнение

Фейнман^[3] обеспечивает вывод волнового уравнения для звука в трех измерениях как

${\displaystyle \nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0,}$

куда ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ это Оператор Лапласа, ${\displaystyle p}$ это акустическое давление (местное отклонение от атмосферного давления), а где ${\displaystyle c}$ это скорость звука.

Аналогичное волновое уравнение, но для векторное поле скорость частицы дан кем-то

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} \;-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {u} \; \over \partial t^{2}}=0}$.

В некоторых ситуациях удобнее решать волновое уравнение для абстрактного скалярного поля потенциал скорости который имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=0}$

а затем получить физические величины скорости частицы и акустического давления с помощью уравнений (или определения, в случае скорости частицы):

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \Phi \;}$,

${\displaystyle p=-\rho {\partial \over \partial t}\Phi }$.

Решение

Следующие решения получены разделение переменных в разных системах координат. Они есть фазор решений, то есть они имеют неявный фактор временной зависимости ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ куда ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ это угловая частота. Явная зависимость от времени дается выражением

${\displaystyle p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]}$

Здесь ${\displaystyle k=\omega /c\ }$ это волновое число.

Декартовы координаты

${\displaystyle p(r,k)=Ae^{\pm ikr}}$.

Цилиндрические координаты

${\displaystyle p(r,k)=AH_{0}^{(1)}(kr)+\ BH_{0}^{(2)}(kr)}$.

где асимптотические приближения к Функции Ганкеля, когда ${\displaystyle kr\rightarrow \infty }$, находятся

${\displaystyle H_{0}^{(1)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{i(kr-\pi /4)}}$

${\displaystyle H_{0}^{(2)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{-i(kr-\pi /4)}}$.

Сферические координаты

${\displaystyle p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}}$.

В зависимости от выбранного соглашения Фурье один из них представляет бегущую волну наружу, а другой - нефизическую бегущую волну внутрь. Бегущая внутрь волна решения является нефизической только из-за особенности, возникающей при r = 0; бегущие внутрь волны действительно существуют.

Смотрите также

• Акустика
• Акустическое затухание
• Акустическая теория
• Волновое уравнение
• Дифференциальные уравнения
• Термодинамика
• Динамика жидкостей
• Давление
• Закон идеального газа

Рекомендации

1. С. П. Нэсхольм и С. Холм, "Об уравнении дробной упругой волны Зинера", Фракт. Расчет. Appl. Анальный. Vol. 16, No 1 (2013), стр. 26-50, DOI: 10.2478 / s13540-013--0003-1 Ссылка на электронную печать
2. Ричард Фейнман, Лекции по физике, Том 1, Глава 47: Звук. Волновое уравнение, Калтех 1963, 2006, 2013
3. Ричард Фейнман, Лекции по физике, том 1, 1969, издательство Addison Publishing Company, Addison