Теорема Абельса - Abels theorem

Эта статья посвящена теореме Абеля о степенной ряд. Для теоремы Абеля о алгебраические кривые, видеть Карта Абеля – Якоби. По поводу теоремы Абеля о неразрешимости уравнения пятой степени см. Теорема Абеля – Руффини. По поводу теоремы Абеля о линейных дифференциальных уравнениях см. Личность Авеля. По поводу теоремы Абеля о неприводимых многочленах см. Теорема Абеля о неприводимости. Формулу Абеля для суммирования ряда с помощью интеграла см. Формула суммирования Абеля.

В математика, Теорема Абеля за степенной ряд связывает предел степенного ряда на сумму его коэффициенты. Он назван в честь норвежского математика. Нильс Хенрик Абель.

Теорема

Позволять

${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

быть степенным рядом с действительными коэффициентами ${\displaystyle a_{k}}$ с радиусом схождения ${\displaystyle 1}$. Предположим, что ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

сходится. потом ${\displaystyle G(x)}$ непрерывна слева в ${\displaystyle x=1}$, т.е.

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

Та же теорема верна для комплексных степенных рядов

${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},}$

при условии, что ${\displaystyle z\to 1}$ в пределах Сектор Штольца, то есть область открытого единичного диска, где

${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$

для некоторых ${\displaystyle M}$. Без этого ограничения предел может не существовать: например, степенной ряд

${\displaystyle \sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}}$

сходится к ${\displaystyle 0}$ в ${\displaystyle z=1}$, но неограничен вблизи любой точки вида ${\displaystyle e^{\pi i/3^{n}}}$, поэтому значение при ${\displaystyle z=1}$ это не предел, как ${\displaystyle z}$ как правило ${\displaystyle 1}$ на весь открытый диск.

Обратите внимание, что ${\displaystyle G(z)}$ непрерывна на действительном отрезке ${\displaystyle [0,t]}$ за ${\displaystyle t<1}$, в силу равномерной сходимости ряда на компактных подмножествах круга сходимости. Теорема Абеля позволяет сказать больше, а именно, что ${\displaystyle G(z)}$ продолжается на ${\displaystyle [0,1]}$.

Замечания

Как непосредственное следствие этой теоремы, если ${\displaystyle z}$ - любое ненулевое комплексное число, для которого ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

сходится, то

${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}G(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

в котором берется предел снизу.

Теорема также может быть обобщена для учета сумм, расходящихся до бесконечности.^{[нужна цитата ]} Если

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\infty }$

тогда

${\displaystyle \lim _{z\to 1^{-}}G(z)\to \infty .}$

Однако, если известно, что ряд расходится только по причинам, отличным от расходящегося до бесконечности, то утверждение теоремы может не выполняться: возьмем, например, степенной ряд для

${\displaystyle {\frac {1}{1+z}}.}$

В ${\displaystyle z=1}$ серия равна ${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ,}$ но ${\displaystyle {\tfrac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$

Отметим также, что теорема верна для радиусов сходимости, отличных от ${\displaystyle R=1}$: позволять

${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

- степенной ряд с радиусом сходимости ${\displaystyle R}$, и предположим, что ряд сходится в ${\displaystyle x=R}$. потом ${\displaystyle G(x)}$ непрерывна слева в ${\displaystyle x=R}$, т.е.

${\displaystyle \lim _{x\to R^{-}}G(x)=G(R)}$

Приложения

Полезность теоремы Абеля состоит в том, что она позволяет нам найти предел степенного ряда в качестве аргумента (т. Е. ${\displaystyle z}$) приближается к 1 снизу, даже в тех случаях, когда радиус схождения, ${\displaystyle R}$, степенного ряда равно 1, и мы не можем быть уверены, должен ли предел быть конечным или нет. См. Например то биномиальный ряд. Теорема Абеля позволяет вычислять многие ряды в замкнутой форме. Например, когда

${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}},}$

мы получаем

${\displaystyle G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,}$

интегрируя равномерно сходящийся геометрический степенной ряд по члену на ${\displaystyle [-z,0]}$; таким образом, серия

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$

сходится к ${\displaystyle \ln(2)}$ по теореме Абеля. По аналогии,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$

сходится к ${\displaystyle \arctan(1)={\tfrac {\pi }{4}}.}$

${\displaystyle G_{a}(z)}$ называется производящая функция последовательности ${\displaystyle a}$. Теорема Абеля часто бывает полезна при работе с производящими функциями действительных и неотрицательных последовательности, Такие как функции, генерирующие вероятность. В частности, это полезно в теории Процессы Гальтона – Ватсона.

Схема доказательства

После вычитания константы из ${\displaystyle a_{0}}$, можно считать, что ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0}$. Позволять ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\!}$. Затем подставив ${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}}$ и выполняя простую манипуляцию с серией (суммирование по частям ) приводит к

${\displaystyle G_{a}(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}.}$

Данный ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ выбирать ${\displaystyle n}$ достаточно большой, чтобы ${\displaystyle |s_{k}|<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle k\geq n}$ и обратите внимание, что

${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M}$

когда ${\displaystyle z}$ лежит в пределах заданного угла Штольца. В любое время ${\displaystyle z}$ достаточно близко к 1, мы имеем

${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon ,}$

так что ${\displaystyle |G_{a}(z)|<(M+1)\varepsilon }$ когда ${\displaystyle z}$ оба достаточно близки к 1 и находятся в пределах угла Штольца.

Связанные понятия

Обращение к теореме, подобной теореме Абеля, называется Тауберовы теоремы: Нет точного обратного, но результаты зависят от некоторой гипотезы. Поле расходящийся ряд, и их методы суммирования, содержит много теорем абелева типа и тауберова типа.

Смотрите также

• Суммирование по частям
• Формула суммирования Абеля
• Пересуммация Нахбина

дальнейшее чтение

• Альфорс, Ларс Валериан (1 сентября 1980 г.). Комплексный анализ (Третье изд.). Макгроу Хилл Высшее образование. С. 41–42. ISBN  0-07-085008-9. - назвал это Альфорс Предельная теорема Абеля.

внешняя ссылка

• Суммируемость по Абелю в PlanetMath. (более общий взгляд на абелевы теоремы этого типа)
• А.А. Захаров (2001) [1994], «Метод суммирования Абеля», Энциклопедия математики, EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема сходимости Абеля". MathWorld.