Оператор проекции Цванцига - Zwanzig projection operator

Цванциг оператор проекции^[1] математический аппарат, используемый в статистическая механика. Он действует в линейном пространстве фазовое пространство функции и проекции на линейное подпространство "медленных" функций фазового пространства. Он был представлен Роберт Цванциг вывести общий главное уравнение. Он в основном используется в этом или подобном контексте формальным способом для вывода уравнений движения для некоторых «медленных» коллективные переменные.^[2]

Медленные переменные и скалярное произведение

Оператор проекции Цванцига оперирует функциями в ${\displaystyle 6N}$-мерное фазовое пространство ${\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}\}}$ из ${\displaystyle N}$ точечные частицы с координатами ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$ и импульсы ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$.Особое подмножество этих функций - это перечислимый набор «медленных переменных». ${\displaystyle A(\Gamma )=\{A_{n}(\Gamma )\}}$. Кандидатами на роль некоторых из этих переменных могут быть длинноволновые компоненты Фурье. ${\displaystyle \rho _{k}(\Gamma )}$ плотности массы и длинноволновых компонент Фурье ${\displaystyle \mathbf {\pi } _{\mathbf {k} }(\Gamma )}$ плотности импульса с волновым вектором ${\displaystyle \mathbf {k} }$ отождествляется с ${\displaystyle n}$. Оператор проекции Цванцига полагается на эти функции, но не говорит, как найти медленные переменные заданного Гамильтониан ${\displaystyle H(\Gamma )}$.

Скалярное произведение^[3] между двумя произвольными функциями фазового пространства ${\displaystyle f_{1}(\Gamma )}$ и ${\displaystyle f_{2}(\Gamma )}$ определяется равновесным соотношением

${\displaystyle \left(f_{1},f_{2}\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f_{1}\left(\Gamma \right)f_{2}\left(\Gamma \right),}$

куда

${\displaystyle \rho _{0}\left(\Gamma \right)={\frac {\delta \left(H\left(\Gamma \right)-E\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\delta \left(H\left(\Gamma ^{\prime }\right)-E\right)}},}$

обозначает микроканонический равновесное распределение. «Быстрые» переменные по определению ортогональны всем функциям ${\displaystyle G(A(\Gamma ))}$ из ${\displaystyle A(\Gamma )}$ под этим скалярным произведением. Это определение гласит, что колебания быстрых и медленных переменных некоррелированы, и, согласно эргодической гипотезе, это также верно и для средних значений по времени. Если универсальная функция ${\displaystyle f(\Gamma )}$ коррелирует с некоторыми медленными переменными, то можно вычесть функции медленных переменных, пока не останется некоррелированная быстрая часть ${\displaystyle f(\Gamma )}$. Произведение медленной и быстрой переменной - это быстрая переменная.

Оператор проекции

Рассмотрим непрерывный набор функций ${\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)=\prod _{n}\delta (A_{n}(\Gamma )-a_{n})}$ с ${\displaystyle a=a_{n}}$ постоянный. Любая функция фазового пространства ${\displaystyle G(A(\Gamma ))}$ в зависимости от ${\displaystyle \Gamma }$ только через ${\displaystyle A(\Gamma )}$ является функцией ${\displaystyle \Phi _{a}}$, а именно

${\displaystyle G(A\left(\Gamma \right))=\int daG\left(a\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}$

Общая функция фазового пространства ${\displaystyle f(\Gamma )}$ разлагается согласно

${\displaystyle f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)+R\left(\Gamma \right),}$

куда ${\displaystyle R(\Gamma )}$ это быстрая часть ${\displaystyle f(\Gamma )}$. Чтобы получить выражение для медленной части ${\displaystyle F(\Gamma )}$ из ${\displaystyle f}$ возьмите скалярное произведение с медленной функцией ${\displaystyle \delta (A(\Gamma )-a)}$,

${\displaystyle \int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)F\left(A\left(\Gamma \right)\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=F\left(a\right)\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}$

Это дает выражение для ${\displaystyle F(\Gamma )}$, а значит, для оператора ${\displaystyle P}$ проектирование произвольной функции ${\displaystyle f(\Gamma )}$ к своей «медленной» части в зависимости от ${\displaystyle \Gamma }$ только через ${\displaystyle A(\Gamma )}$,

${\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)={\frac {\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)f\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}}.}$

Это выражение согласуется с выражением Цванцига:^[1] за исключением того, что Цванциг включает ${\displaystyle H(\Gamma )}$ в медленных переменных. Оператор проекции Цванцига выполняет ${\displaystyle PG(A(\Gamma ))=G(A(\Gamma ))}$ и ${\displaystyle P^{2}=P}$. Быстрая часть ${\displaystyle f(\Gamma )}$ является ${\displaystyle (1-P)f(\Gamma )}$. Функции медленных переменных и, в частности, произведения медленных переменных являются медленными переменными. Таким образом, пространство медленных переменных представляет собой алгебру. Алгебра вообще не замкнута относительно скобки Пуассона, включая Скобка Пуассона с Гамильтониан.

Связь с уравнением Лиувилля и Мастера

Окончательное обоснование определения ${\displaystyle P}$ как указано выше, это позволяет вывести основное уравнение для зависящего от времени распределения вероятностей ${\displaystyle p(a,t)}$ медленных переменных (или Уравнения Ланжевена для самих медленных переменных).

Чтобы набросать типичные шаги, позвольте ${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)=\rho _{0}(\Gamma )\sigma (\Gamma ,t)}$обозначают зависящее от времени распределение вероятностей в фазовом пространстве. ${\displaystyle \sigma (\Gamma ,t)}$ (а также ${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}$) является решением Уравнение Лиувилля

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\sigma (\Gamma ,t)=L\sigma (\Gamma ,t).}$

Тогда решающий шаг - написать ${\displaystyle \rho _{1}=P\sigma }$, ${\displaystyle \rho _{2}=(1-P)\sigma }$и спроецировать уравнение Лиувилля на медленное и быстрое подпространство,^[1]

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{1}=PL\rho _{1}+PL\rho _{2},}$

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{2}=\left(1-P\right)L\rho _{2}+\left(1-P\right)L\rho _{1}.}$

Решая второе уравнение относительно ${\displaystyle \rho _{2}}$ и вставка ${\displaystyle \rho _{2}(\Gamma ,t)}$ в первое уравнение дает замкнутое уравнение для ${\displaystyle \rho _{1}}$ (видеть Уравнение Накадзимы – Цванцига Последнее уравнение в итоге дает уравнение для ${\displaystyle p(A(\Gamma ),t)=p_{0}(A(\Gamma ))\rho _{1}(\Gamma ,t),}$куда ${\displaystyle p_{0}(a)}$ обозначает равновесное распределение медленных переменных.

Нелинейные уравнения Ланжевена

Отправной точкой для стандартного вывода уравнения Ланжевена является тождество ${\displaystyle 1=P+Q}$, куда ${\displaystyle Q}$ проекции на быстрое подпространство. Рассмотрим дискретные малые временные шаги ${\displaystyle \tau }$ с оператором эволюции ${\displaystyle U\cong 1+i\tau L}$, куда ${\displaystyle L}$ это Оператор Лиувилля. Цель - выразить ${\displaystyle U^{n}}$ с точки зрения ${\displaystyle U^{k}P}$ и ${\displaystyle Q(UQ)^{m}}$. Мотивация в том, что ${\displaystyle U^{k}P}$ является функционалом медленных переменных и что ${\displaystyle Q(UQ)^{m}}$ генерирует выражения, которые являются быстрыми переменными на каждом временном шаге. Ожидается, что изолированные таким образом быстрые переменные могут быть представлены некоторыми данными модели, например гауссовым белым шумом. Разложение достигается умножением ${\displaystyle 1=P+Q}$ слева с ${\displaystyle U}$, кроме последнего члена, который умножается на ${\displaystyle U=PU+QU}$. Итерация дает

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=P+Q,\\U&=UP+PUQ+QUQ,\\...&=...\\U^{n}&=U^{n}P+\sum _{m=1}^{n}U^{n-m}P\left(UQ\right)^{m}+Q\left(UQ\right)^{n}.\end{aligned}}}$

Последнюю строчку также можно доказать по индукции. Предполагая ${\displaystyle U=1+itL/n}$ и выполнение лимита ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ непосредственно приводит к идентичности оператора Кавасаки^[2]

${\displaystyle e^{itL}=e^{itL}P+i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}+Qe^{itLQ}.}$

Общее уравнение Ланжевена получается путем применения этого уравнения к производной по времени медленной переменной ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle dA(\Gamma ,t)/dt=e^{itL}(dA(\Gamma ,t)/dt)_{t=0}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}\left(\Gamma ,t\right)&=V+K+R,\\V&=e^{itL}P{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right),\\K&=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right)=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLR\left(s\right),\\R&=Qe^{itLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right).\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle R}$ - флуктуирующая сила (зависит только от быстрых переменных). Срок связи мод ${\displaystyle V}$ и демпфирующий срок ${\displaystyle K}$ функционалы ${\displaystyle A(t)}$ и ${\displaystyle A(t-s)}$ и может быть значительно упрощен.^[1][2][4]

Дискретный набор функций, связь с оператором проекции Мори

Вместо того, чтобы расширять медленную часть ${\displaystyle f(\Gamma )}$ в непрерывном множестве ${\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)}$ функций можно также использовать некоторый перечислимый набор функций ${\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}$. Если эти функции составляют полный набор ортонормированных функций, тогда оператор проекции просто читает

${\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=\sum _{n}\left(f,\Phi _{n}\right)\Phi _{n}\left(A\left(\Gamma \right)\right).}$

Особый выбор для ${\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}$ ортонормированные линейные комбинации медленных переменных ${\displaystyle A(\Gamma )}$. Это приводит к проекционному оператору Мори.^[3] Однако набор линейных функций не является полным, и ортогональные переменные не являются быстрыми или случайными, если нелинейность в ${\displaystyle A}$ вступает в игру.

Рекомендации

1. Цванциг, Роберт (1961). «Эффекты памяти в необратимой термодинамике». Phys. Rev. 124 (4): 983–992. Bibcode:1961ПхРв..124..983З. Дои:10.1103 / Physrev.124.983.
2. Кавасаки, К. (1973). «Простые выводы обобщенных линейных и нелинейных уравнений Ланжевена». J. Phys. A: Математика. Nucl. Gen. 6 (9): 1289–1295. Bibcode:1973JPhA .... 6,1289K. Дои:10.1088/0305-4470/6/9/004.
3. Мори, Х. (1965). «Транспорт, коллективное движение и броуновское движение». Прог. Теор. Phys. 33 (3): 423–455. Bibcode:1965ПТХФ..33..423М. Дои:10.1143 / птп.33.423.
4. Гантон, Дж. Д. (1979). «Теория связи мод применительно к методу динамической ренормгруппы». Конспект лекций по физике. 104: 1–24. Дои:10.1007/3-540-09523-3_1. ISBN  978-3-540-09523-1.