Уравнение Накадзимы – Цванцига - Nakajima–Zwanzig equation

В Уравнение Накадзимы – Цванцига (назван в честь разработавших его физиков, Садао Накадзима^[1] и Роберт Цванциг^[2]) является интегральным уравнением, описывающим временную эволюцию «соответствующей» части квантово-механической системы. Он сформулирован в матрица плотности формализма и может рассматриваться как обобщение главное уравнение.

Уравнение принадлежит Теория Мори – Цванцига в рамках статистической механики необратимых процессов (им. Хазимэ Мори ). С помощью оператора проекции динамика разбивается на медленную коллективную часть (соответствующая часть) и быстро меняющийся не имеющий отношения часть. Цель состоит в том, чтобы разработать динамические уравнения для коллективной части.

Вывод

Отправная точка^{[примечание 1]} квантово-механический Уравнение Лиувилля (уравнение фон Неймана )

${\displaystyle \partial _{t}\rho ={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]=L\rho ,}$

где оператор Лиувилля ${\displaystyle L}$ определяется как ${\displaystyle LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]}$.

В оператор плотности (матрица плотности) ${\displaystyle \rho }$ разбивается с помощью оператора проекции${\displaystyle {\mathcal {P}}}$на две части ${\displaystyle \rho =\left({\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}\right)\rho }$, куда ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\equiv 1-{\mathcal {P}}}$. Оператор проекции ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ проекты на вышеупомянутые соответствующий часть, для которой должно быть выведено уравнение движения.

Таким образом, уравнение Лиувилля - фон Неймана можно представить в виде

${\displaystyle {\partial _{t}}\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\rho =\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\rho +\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal {Q}}\\{\mathcal {P}}\\\end{matrix}}\right)\rho .}$

Вторая строка формально решается как^{[заметка 2]}

${\displaystyle {\mathcal {Q}}\rho ={{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\rho (t=0)+\int _{0}^{t}dt'{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\rho (t-{t}').}$

Подставляя решение в первое уравнение, мы получаем уравнение Накадзимы – Цванцига:

${\displaystyle \partial _{t}{\mathcal {P}}\rho ={\mathcal {P}}L{\mathcal {P}}\rho +\underbrace {{\mathcal {P}}L{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\rho (t=0)} _{=0}+{\mathcal {P}}L\int _{0}^{t}{dt'{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\rho (t-{t}')}.}$

В предположении обращения в нуль неоднородного члена^{[заметка 3]} и используя

${\displaystyle {\mathcal {K}}\left(t\right)\equiv {\mathcal {P}}L{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}},}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho \equiv {{\rho }_{\mathrm {rel} }},}$ а также

${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {P}},}$

получаем окончательный вид

${\displaystyle \partial _{t}{\rho }_{\mathrm {rel} }={\mathcal {P}}L{{\rho }_{\mathrm {rel} }}+\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{\mathrm {rel} }}(t-{t}')}.}$

Смотрите также

• Уравнение Редфилда

Примечания

1. Вывод, аналогичный представленному здесь, можно найти, например, у Брейера, Петруччоне. Теория открытых квантовых систем, Oxford University Press, 2002, S.443ff.
2. Для проверки уравнения достаточно записать функцию под интегралом в виде производной ${\displaystyle de^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}e^{L(t-t')}=-e^{{\mathcal {Q}}Lt'}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}e^{L(t-t')}dt'.}$
3. Такое предположение можно сделать, если предположить, что нерелевантная часть матрицы плотности равна 0 в начальный момент времени, так что проектор для t = 0 является тождественным.

Рекомендации

1. Накадзима, Садао (1 декабря 1958 г.). «К квантовой теории явлений переноса: устойчивая диффузия». Успехи теоретической физики. 20 (6): 948–959. Дои:10.1143 / PTP.20.948. ISSN  0033-068X.
2. Цванциг, Роберт (1960). «Ансамблевый метод в теории необратимости». Журнал химической физики. 33 (5): 1338–1341. Дои:10.1063/1.1731409.

• Э. Фик, Г. Зауэрманн: Квантовая статистика динамических процессов. Springer-Verlag, 1983 г., ISBN  3-540-50824-4.
• Хайнц-Петер Брейер, Франческо Петруччоне: Теория открытых квантовых систем. Оксфорд, 2002 г. ISBN  9780198520634
• Герман Граберт Методы проекционных операторов в неравновесной статистической механике, Springer Tracts in Modern Physics, Band 95, 1982.
• Р. Кюне, П. Райнекер: Обобщенное основное уравнение Накадзимы-Цванцига: оценка ядра интегро-дифференциального уравнения, Zeitschrift für Physik B (Конденсированное вещество), Band 31, 1978, S. 105–110, Дои:10.1007 / BF01320131

внешняя ссылка

• «Накадзима-Цванциг-Гляйчунг». PhysikWiki (на немецком). Получено 20 декабря 2018.