Теорема Жигмонди - Zsigmondys theorem

В теория чисел, Теорема Жигмонди, названный в честь Карл Жигмонди, утверждает, что если а > б > 0 находятся совмещать целые числа, то для любого целое число п ≥ 1 существует простое число п (называется примитивный простой делитель), который делит а^п − б^п и не делит а^k − б^k для любого положительного целого числа k < п, за следующими исключениями:

• п = 1, а − б = 1; тогда а^п − б^п = 1, не имеющий простых делителей
• п = 2, а + б а сила двух; тогда любые нечетные простые множители а² - б² = (а + б) (а¹ - б¹) должен содержаться в а¹ - б¹, который также даже
• п = 6, а = 2, б = 1; тогда а⁶ − б⁶ = 63 = 3²×7 = (а² − б²)²(а³ − б³)

Это обобщает теорему Банга,^[1] в котором говорится, что если п > 1 и п не равно 6, то 2^п − 1 имеет простой делитель, не делящий 2^k − 1 с k < п.

По аналогии, а^п + б^п имеет хотя бы один примитивный простой делитель, за исключением 2³ + 1³ = 9.

Теорема Жигмонди часто бывает полезной, особенно в теории групп, где она используется для доказательства того, что разные группы имеют разные порядки, за исключением тех случаев, когда известно, что они одинаковы.^[2][3]

История

Теорема была открыта Жигмонди, работающим в Вена с 1894 по 1925 гг.

Обобщения

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 1}}$ последовательность ненулевых целых чисел. Жигмонди набор с последовательностью связано множество

${ displaystyle { mathcal {Z}} (a_ {n}) = {n geq 1: a_ {n} { text {не имеет примитивных простых делителей}} }.}$

т.е. набор индексов ${ displaystyle n}$ так что каждое простое деление ${ displaystyle a_ {n}}$также разделяет некоторые ${ displaystyle a_ {m}}$ для некоторых ${ Displaystyle м <п}$. Таким образом, из теоремы Жигмонди следует, что ${ displaystyle { mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) subset {1,2,6 }}$, и Теорема Кармайкла говорит, что набор Zsigmondy Последовательность Фибоначчи является ${ displaystyle {1,2,6,12 }}$, и что из Последовательность Пелля является ${ displaystyle {1 }}$. В 2001 году Билу, Ханрот и Вутье^[4]доказал, что, вообще говоря, если ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 1}}$ это Последовательность Лукаса или Последовательность Лемера, тогда ${ Displaystyle { mathcal {Z}} (а_ {п}) substeq {1 Leq п Leq 30 }}$ (видеть OEIS: A285314, всего 13 таких ${ displaystyle n}$s, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30) .Последовательности Лукаса и Лемера являются примерами последовательности делимости.

Также известен татиф ${ Displaystyle (W_ {п}) _ {п geq 1}}$ является последовательность эллиптической делимости, то его Zsigmondyset ${ Displaystyle { mathcal {Z}} (W_ {п})}$ конечно.^[5] Однако результат неэффективен в том смысле, что доказательство не дает явной верхней оценки для наибольшего элемента в ${ Displaystyle { mathcal {Z}} (W_ {п})}$, хотя можно дать эффективную верхнюю границу количества элементов в ${ Displaystyle { mathcal {Z}} (W_ {п})}$.^[6]

Смотрите также

• Теорема Кармайкла

Рекомендации

• К. Жигмонди (1892). "Zur Theorie der Potenzreste". Журнал Monatshefte für Mathematik. 3 (1): 265–284. Дои:10.1007 / BF01692444. HDL:10338.dmlcz / 120560.
• Чт. Шмид (1927). "Карл Жигмонди". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 36: 167–168.
• Моше Ройтман (1997). "О простых числах Жигмонди". Труды Американского математического общества. 125 (7): 1913–1919. Дои:10.1090 / S0002-9939-97-03981-6. JSTOR  2162291.
• Вальтер Фейт (1988). «О больших простых числах Жигмонди». Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 102 (1): 29–36. Дои:10.2307/2046025. JSTOR  2046025.
• Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности. Математические обзоры и монографии. 104. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 103–104. ISBN  0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Жигмонди". MathWorld.