Теорема Кармайклса - Carmichaels theorem

Эта статья посвящена теореме Кармайкла о Числа Фибоначчи и Последовательности Лукаса. Рекурсивное определение функции Кармайкла см. Функция Кармайкла.

В теория чисел, Теорема Кармайкла, названный в честь американского математик Р. Д. Кармайкл, утверждает, что для любого невырожденного Последовательность Лукаса первого вида U_п(п,Q) с относительно простыми параметрами P, Q и положительный дискриминант, элемент U_п с п ≠ 1, 2, 6 имеет хотя бы один основной делитель, который не делит ни один из предыдущих, кроме 12-го Число Фибоначчи F (12) =U₁₂(1, -1) = 144 и его эквивалент U₁₂(-1, -1)=-144.

В частности, для п больше 12, пth Число Фибоначчи F (п) имеет по крайней мере один простой делитель, который не делит ранее существовавшее число Фибоначчи.

Кармайкл (1913, теорема 21) доказал эту теорему. Недавно Ябута (2001)^[1] дал простое доказательство.

Заявление

Учитывая два взаимно простые целые числа п и Q, так что ${\displaystyle D=P^{2}-4Q>0}$ и PQ ≠ 0, позволять U_п(п,Q) быть Последовательность Лукаса первого рода, определяемого

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}}$

Тогда для п ≠ 1, 2, 6, U_п(п,Q) имеет хотя бы один простой делитель, не делящий ни одного U_м(п,Q) с м < п, Кроме U₁₂(1, -1) = F (12) = 144, U₁₂(-1, -1) = - F (12) = - 144. Такое простое число п называется характеристический фактор или примитивный простой делитель из U_п(п,QДействительно, Кармайкл показал немного более сильную теорему: п ≠ 1, 2, 6, U_п(п,Q) имеет хотя бы один примитивный простой делитель, не делящий D^[2] Кроме U₃(1, -2)=U₃(-1, -2)=3, U₅(1, -1)=U₅(-1, -1) = F (5) = 5, U₁₂(1, -1) = F (12) = 144, U₁₂(-1, -1) = - F (12) = - 144.

Обратите внимание, что D должно быть> 0, поэтому случаи U₁₃(1, 2), U₁₈(1, 2) и U₃₀(1, 2) и т. Д. Не включаются, так как в этом случае D = −7 < 0.

Случаи Фибоначчи и Пелла

Единственные исключения в случае Фибоначчи для п до 12 являются:

F (1) = 1 и F (2) = 1, у которых нет простых делителей

F (6) = 8, единственный простой делитель которого равен 2 (что является F (3))

F (12) = 144, чьи единственные простые делители равны 2 (то есть F (3)) и 3 (то есть F (4))

Наименьший примитивный простой делитель числа F (п) находятся

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, ... (последовательность A001578 в OEIS )

Кармайкл теорема говорит, что каждое число Фибоначчи, за исключением перечисленных выше исключений, имеет по крайней мере один примитивный простой делитель.

Если п > 1, то пth Число Пелла имеет по крайней мере один основной делитель, который не делит ранее существовавшее число Пелла. Наименьший примитивный простой делитель числа пчисла Пелла

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241, ... (последовательность A246556 в OEIS )

Смотрите также

• Теорема Жигмонди

Рекомендации

1. Ябута, М (2001). «Простое доказательство теоремы Кармайкла о примитивных делителях» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 39: 439–443. Получено 4 октября 2018.
2. В определении примитивного простого делителя п, часто требуется, чтобы п не делит дискриминант.

• Кармайкл, Р. Д. (1913), «О числовых множителях арифметических форм α^п± β^п", Анналы математики, 15 (1/4): 30–70, Дои:10.2307/1967797, JSTOR  1967797.