Z * теорема - Z* theorem

В математике Джордж Глауберман с Z * теорема утверждается следующим образом:

Теорема Z *: Позволять грамм быть конечная группа, с О(грамм) будучи его максимальным нормальная подгруппа из странный порядок. Если Т это Силовская 2-подгруппа из грамм содержащий инволюция нет сопрягать в грамм к любому другому элементу Т, то инволюция лежит в Z *(грамм), который является прообразом в грамм из центр из грамм/О(грамм).

Это обобщает Теорема Брауэра – Судзуки (и доказательство использует теорему Брауэра – Судзуки для рассмотрения некоторых небольших случаев).

Подробности

Исходная статья (Глауберман 1966 ) дал несколько критериев для того, чтобы элемент лежал вне Z *(грамм). Его теорема 4 гласит:

Для элемента т в Т, это необходимо и достаточно для т лежать снаружи Z *(грамм) что есть некоторые грамм в грамм и абелева подгруппа U из Т удовлетворяющие следующим свойствам:
грамм нормализует оба U и централизатор C_Т(U), то есть грамм содержится в N = N_грамм(U) ∩ N_грамм(C_Т(U))
т содержится в U и тг ≠ gt
U генерируется N-конъюгаты т
то показатель степени из U равно порядок из т
более того грамм может быть выбрано иметь основная сила заказ если т находится в центре Т, и грамм может быть выбран в Т иначе.

Простое следствие состоит в том, что элемент т в Т не в Z *(грамм) тогда и только тогда, когда есть s ≠ т такой, что s и т ездить на работу и s и т находятся грамм-сопряженные.

Обобщение на странное простые числа был записан в (Гуралник и Робинсон 1993 ): если т элемент простого порядка п и коммутатор [т, грамм] имеет порядок совмещать к п для всех грамм, тогда т является центральным по модулю п'-основной. Это также было обобщено на нечетные простые числа и компактные группы Ли в (Мислин и Тевеназ 1991 ), который также содержит несколько полезных результатов в конечном случае.

(Хенке и Семераро 2014 ) также изучили распространение теоремы Z * на пары групп (грамм, ЧАС) с ЧАС нормальная подгруппа грамм.

Z * теорема - Z* theorem

Подробности

Рекомендации